[论文解读] Estimation of the volume of an excursion set of a Gaussian process using intrinsic Kriging

Emmanuel Vázquez, Miguel Piera Martinez|ArXiv.org|Nov 9, 2006

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms被引用 7

一句话总结

本文提出了一种快速收敛的方法，通过内在克里金法估计高斯过程在阈值以上的抽样集体积。通过构建一种自适应实验设计，以最小化体积近似均方误差的上界，该方法在昂贵仿真设置下进行罕见事件概率估计时，收敛速度优于标准蒙特卡洛方法。

ABSTRACT

Assume that a Gaussian process $ξ$ is predicted from $n$ pointwise observations by intrinsic Kriging and that the volume of the excursion set of $ξ$ above a given threshold $u$ is approximated by the volume of the predictor. The first part of this paper gives a bound on the convergence rate of the approximated volume. The second part describes an algorithm that constructs a sequence of points to yield a fast convergence of the approximation. The estimation of the volume of an excursion set is a highly relevant problem for the industrial world since it corresponds to the estimation of the failure probability of a system that is known only through sampled observations.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的高斯过程抽样集体积估计方法，该方法在工程系统中对应于故障概率。
• 在计算昂贵函数时，提高相对于标准蒙特卡洛方法的收敛速度。
• 设计一种自适应采样策略，利用内在克里金法最小化体积近似中的期望误差。
• 在内在克里金法下，提供体积估计误差收敛速率的理论边界。

提出的方法

• 该方法使用内在克里金法从有限个点值观测中预测高斯过程，形成一个近似真实抽样集体积的预测器。
• 抽样集的体积被估计为克里金预测器超过阈值的集合测度，利用高斯过程的条件分布。
• 提出了一种自适应设计算法，通过选择能最大程度减少体积近似均方误差上界的下一个评估点。
• 该算法基于观测到的函数值进行条件处理，并选择点以最小化体积估计中的潜在误差，依据协方差结构和当前预测不确定性。
• 推导了在内在克里金法下体积近似误差的理论收敛速率，其取决于底层高斯过程的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以最少的函数评估次数高效估计高斯过程抽样集的体积？
• RQ2 与标准蒙特卡洛方法相比，使用内在克里金法时，体积估计误差的收敛速率如何？
• RQ3 如何设计一种自适应采样策略以最小化体积近似中的期望误差？
• RQ4 在内在克里金法下，体积估计的均方误差的理论边界是什么？

主要发现

• 所提出的基于内在克里金法的体积估计方法收敛速度快于标准蒙特卡洛估计器，尤其在抽样集体积较小时更为显著。
• 体积近似误差的收敛速率是受约束的，且取决于底层高斯过程的平滑性和正则性。
• 自适应设计算法通过选择能最大程度减少体积估计均方误差上界的点，显著加速了收敛。
• 该方法在使用远少于蒙特卡洛方法的函数评估次数下，实现了高精度的故障概率估计，适用于昂贵的计算机仿真。