[论文解读] ETH Hardness for Densest-$k$-Subgraph with Perfect Completeness

Mark Braverman, Young Kun-Ko+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

该论文在完美完全性条件下首次建立了针对Densest $k$-Subgraph问题的近乎紧致的ETH下界，表明区分一个具有$k$-团的图与所有$k$-子图密度至多为$1 - \varepsilon$的图，需要$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$的时间。该结果通过新颖地应用生日重复与信息论分析实现，排除了加法PTAS的存在性，并与目前已知的准多项式时间算法达到一致。

ABSTRACT

We show that, assuming the (deterministic) Exponential Time Hypothesis, distinguishing between a graph with an induced $k$-clique and a graph in which all k-subgraphs have density at most $1-ε$, requires $n^{ ilde Ω(log n)}$ time. Our result essentially matches the quasi-polynomial algorithms of Feige and Seltser [FS97] and Barman [Bar15] for this problem, and is the first one to rule out an additive PTAS for Densest $k$-Subgraph. We further strengthen this result by showing that our lower bound continues to hold when, in the soundness case, even subgraphs smaller by a near-polynomial factor ($k' = k 2^{- ilde Ω(log n)}$) are assumed to be at most ($1-ε$)-dense. Our reduction is inspired by recent applications of the "birthday repetition" technique [AIM14,BKW15]. Our analysis relies on information theoretical machinery and is similar in spirit to analyzing a parallel repetition of two-prover games in which the provers may choose to answer some challenges multiple times, while completely ignoring other challenges.

研究动机与目标

• 为在完美完全性下Densest $k$-Subgraph问题的计算复杂性与目前已知的准多项式时间算法之间的差距提供填补。
• 在指数时间假设（ETH）下，证明不存在多项式时间算法能够区分具有$k$-团的图与所有$k$-子图均为$1-\varepsilon$密度的图。
• 通过证明准多项式时间几乎是最优的，从而排除Densest $k$-Subgraph问题存在加法PTAS的可能性。
• 将下界扩展至子图大小$k' = k \cdot 2^{-\tilde{\Omega}(\log n)}$，表明即使在显著缩小的子图规模下，其在声音性情形下依然稀疏。

提出的方法

• 将两证明者博弈中的生日重复技术适配至从2CSP问题到Densest $k$-Subgraph问题的规约构造。
• 利用信息论工具分析在声音性情形下赋值与约束违反的分布。
• 为变量定义一种模式赋值，并证明原始2CSP中未满足的约束会在诱导子图中导致违反。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与期望界，表明违反不可能集中在少数顶点对上，从而迫使诱导子图的密度降低。
• 仔细调节参数，确保违反数量超过任何大小为$k'$的稠密子图所能解释的范围，从而在该子图存在时导出矛盾。
• 利用确定性ETH排除更快的算法，表明$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$时间是必需的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ETH假设下，能否将完美完全性下Densest $k$-Subgraph的准多项式时间算法改进为多项式时间？
• RQ2 即使在完美完全性设定下，Densest $k$-Subgraph问题是否存在加法PTAS？
• RQ3 该不可近似性是否不仅适用于大小为$k$的子图，也适用于大小为$k' = k \cdot 2^{-\tilde{\Omega}(\log n)}$的子图？
• RQ4 生日重复技术能否被适配以在稠密子图问题背景下产生强不可近似性结果？
• RQ5 在ETH下，区分$k$-团与$1-\varepsilon$-稠密$k$-子图的运行时间的最紧下界是什么？

主要发现

• 在确定性指数时间假设下，区分具有$k$-团的图与所有$k$-子图密度至多为$1 - \varepsilon$的图，需要$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$的时间。
• 即使在声音性子图大小被减少至$k' = k \cdot 2^{-\Omega(\frac{\log n}{\log\log n})}$时，该下界依然成立，表明对子图大小缩减具有鲁棒性。
• 该结果排除了Densest $k$-Subgraph的加法PTAS，因为目前已知的最佳算法运行时间均为准多项式时间。
• 基于生日重复与信息论分析的证明技术，为稠密子图问题中的不可近似性证明提供了一个新框架。
• 该下界几乎与Feige和Seltser [FS97] 以及Barman [Bar15b] 所提出的现有准多项式时间算法的运行时间完全匹配，暗示其最优性。
• 该结果深化了对Densest $k$-Subgraph问题的理解，并为解决其计算复杂性迈出了关键一步。