[论文解读] ETH-Hardness of Approximating 2-CSPs and Directed Steiner Network

Irit Dinur, Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 6

一句话总结

该论文通过将一个困难的2-CSP实例约化为有向斯坦纳网络（DSN）实例，建立了在近似因子为 $k^{1-o(1)}$ 下近似2-CSPs的ETH-hardness，其中 $k$ 为变量数量。在ETH假设下，任何多项式时间算法都无法实现优于近乎线性近似的解，几乎与平凡的 $O(k)$-近似相当，且该结果在Gap-ETH假设下可推广至FPT算法。

ABSTRACT

We study the 2-ary constraint satisfaction problems (2-CSPs), which can be stated as follows: given a constraint graph $G=(V,E)$, an alphabet set $Σ$ and, for each $\{u, v\}\in E$, a constraint $C_{uv} \subseteq Σ imesΣ$, the goal is to find an assignment $σ: V o Σ$ that satisfies as many constraints as possible, where a constraint $C_{uv}$ is satisfied if $(σ(u),σ(v))\in C_{uv}$. While the approximability of 2-CSPs is quite well understood when $|Σ|$ is constant, many problems are still open when $|Σ|$ becomes super constant. One such problem is whether it is hard to approximate 2-CSPs to within a polynomial factor of $|Σ| |V|$. Bellare et al. (1993) suggested that the answer to this question might be positive. Alas, despite efforts to resolve this conjecture, it remains open to this day. In this work, we separate $|V|$ and $|Σ|$ and ask a related but weaker question: is it hard to approximate 2-CSPs to within a polynomial factor of $|V|$ (while $|Σ|$ may be super-polynomial in $|V|$)? Assuming the exponential time hypothesis (ETH), we answer this question positively by showing that no polynomial time algorithm can approximate 2-CSPs to within a factor of $|V|^{1 - o(1)}$. Note that our ratio is almost linear, which is almost optimal as a trivial algorithm gives a $|V|$-approximation for 2-CSPs. Thanks to a known reduction, our result implies an ETH-hardness of approximating Directed Steiner Network with ratio $k^{1/4 - o(1)}$ where $k$ is the number of demand pairs. The ratio is roughly the square root of the best known ratio achieved by polynomial time algorithms (Chekuri et al., 2011; Feldman et al., 2012). Additionally, under Gap-ETH, our reduction for 2-CSPs not only rules out polynomial time algorithms, but also FPT algorithms parameterized by $|V|$. Similar statement applies for DSN parameterized by $k$.

研究动机与目标

• 解决当字母表大小 $n$ 超多项式地依赖于变量数 $k$ 时，2-CSPs的不可近似性问题。
• 探究在强于NP-hardness的假设下，是否近似2-CSPs至 $k$ 的多项式因子范围内是困难的。
• 通过从2-CSPs约化至DSN问题，建立DSN问题的不可近似性结果。
• 探索在Gap-ETH假设下，能否排除以 $k$ 为参数的固定参数可满足性（FPT）算法用于2-CSPs与DSN问题。

提出的方法

• 将一个困难的2-CSP实例约化为有向斯坦纳网络（DSN）实例，保持完备性与可靠性属性。
• 利用指数时间假设（ETH）证明，对于任意 $\rho > 0$，任何多项式时间算法都无法在 $k^{1-1/( ext{log} k)^{1/2 - \rho}}$ 因子内近似2-CSPs。
• 构造一个具有 $k'$ 个需求对的DSN实例，使得在ETH假设下，近似比为 $k'^{1/4 - o(1)}$。
• 应用Gap-ETH以强化结果，排除以 $k$ 为参数的FPT算法，适用于2-CSPs与DSN问题。
• 利用已知的从2-CSPs到DSN的约化，将不可近似性结果转移至DSN问题。
• 分析约化的完备性与可靠性，以确保在硬度假设下近似比得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在指数时间假设（ETH）下，即使字母表大小 $n$ 超多项式地依赖于 $k$，是否仍存在近似2-CSPs至 $k^{1-o(1)}$ 因子的ETH-hardness？
• RQ2 该2-CSPs的不可近似性结果能否在更强的假设（如Gap-ETH）下扩展，以排除以 $k$ 为参数的固定参数可满足性（FPT）算法？
• RQ3 从2-CSPs到DSN的约化是否保持不可近似性比，从而导致在 $k$ 个需求对下DSN的 $k^{1/4-o(1)}$-hardness？
• RQ4 该约化中字母表大小 $n$ 与变量数 $k$ 之间的依赖关系能否从 $n = 2^{2^{(\log k)^d}}$ 改进为更温和的函数，如 $n = k^{\text{polylog} k}$？
• RQ5 是否可能证明其他问题（如Densest $k$-Subgraph）在类似 $k^{1-o(1)}$ 因子下的ETH-hardness近似？

主要发现

• 在指数时间假设（ETH）下，对于任意 $\rho > 0$，任何多项式时间算法都无法在 $k^{1-1/( ext{log} k)^{1/2 - \rho}}$ 因子内近似2-CSPs，该因子接近于 $k$ 的线性函数。
• 该结果意味着，在ETH假设下，有向斯坦纳网络（DSN）问题无法在 $k^{1/4 - o(1)}$ 因子内近似 $k$ 个需求对。
• 在更强的Gap-ETH假设下，本文不仅排除了多项式时间算法，还排除了以 $k$ 为参数、运行时间为 $t(k) \cdot (nk)^{O(1)}$ 的FPT算法，适用于2-CSPs与DSN问题。
• 约化的完备性确保：若原始2-CSP实例的值为1，则DSN实例的值也为1。
• 约化的可靠性保证：若2-CSP实例的值小于 $2^{(\log k)^{1/2 + \rho}}/k$，则DSN实例的值大于 $\sqrt{2k / 2^{(\log k)^{1/2 + \rho}}}$，对于足够大的 $k$，该值至少为 $(k')^{1/4}/2^{(\log k')^{1/2 + \rho'}}$。
• 本文表明，当前约化中字母表大小 $n$ 与 $k$ 之间的依赖关系 $n = 2^{2^{(\log k)^d}}$ 并非最优，因此提出了一个开放问题：能否将其改进为 $n = k^{\text{polylog} k}$。