[论文解读] Etude de deux classes de groupes nilpotents de pas deux

Véronique Fischer|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文建立了两类两步幂零李群——海森堡型群和自由两步幂零群 $N_{v,2}$ 上球面极大函数及其相关面积函数的 $L^p$ 有界性。论文在 $N_{v,2}$ 上发展了一套新颖的径向傅里叶分析，利用有界球函数和普兰彻尔测度，通过谱方法与插值技术实现了面积函数的 $L^2$ 控制及乘子估计，将已知的海森堡群结果推广至自由情形。

ABSTRACT

The aim of my PhD work is to study the $L^p$-boundedness of operators on two classes of two-step nilpotent Lie groups, using Plancherel formulas and spherical functions as tools. The first class of groups consists of the groups of Heisenberg type, and the second, of the two-step free nilpotent Lie groups (denoted $N_{v,2}$ for $v$ generators). In the latter case, we develop a radial Fourier calculus. Our study has focused on the maximal functions associated with Korányi spheres, together with their square functions, and the convolution operator defined with the radial Fourier calculus on the two-step free nilpotent Lie group (radial Fourier multipliers problem). In fact, one chapter of this work is devoted to the proof of $L^p$-inequalities for the maximal spherical function on the two considered classes of groups. Our method is based on interpolation for the same operator family as in the euclidean case, on $L^p$-boundedness for the standard maximal function, and $L^2$-inequalities for square functions. These $L^2$-inequalities are based on Plancherel formula and on the properties of bounded spherical functions for the orthogonal group. On $N_{v,2}$, we construct the bounded spherical functions using representations of the semidirect product of $N_{v,2}$ with the orthogonal group. We also obtain some properties of the Kohn sublaplacian and the radial Plancherel measure. Then we present a first study of the radial Fourier multiplier problem, with the aim of giving our solutions for some technicals difficulties.

研究动机与目标

• 将球面极大函数在海森堡型群上的 $L^p$ 有界性结果推广至更一般的自由两步幂零群 $N_{v,2}$。
• 在 $N_{v,2}$ 上系统发展径向傅里叶分析，包括有界球函数与径向普兰彻尔测度的显式表达式。
• 通过谱技术与插值方法，实现对 $N_{v,2}$ 上面积函数的 $L^2$ 控制，从而获得乘子范数估计。
• 将海森堡群上的已知结果推广至自由情形，尤其针对 $p < 2$ 及乘子算子的情形。
• 为在非紧、非半单李群上研究奇异积分与极大函数提供一个基于表示理论与调和分析的框架。

提出的方法

• 利用轨道方法与含正交群的半直积的表示理论，在 $N_{v,2}$ 上构造有界球函数。
• 通过特殊函数理论与矩阵极坐标，推导出 $N_{v,2}$ 上径向普兰彻尔测度的显式表达式。
• 应用算子的解析族方法，在 $L^2$ 与 $L^p$ 有界性之间实现插值，以处理球面极大函数。
• 利用谱分解与面积函数傅里叶变换的估计，通过径向普兰彻尔测度控制 $L^2$-范数。
• 采用插值技巧与算子 $A^eta$ 的 $L^p$ 估计，将 $L^p$ 有界性推广至 $p < 2$。
• 通过研究算子 $ ilde{A}$、$ ilde{A}^*$ 及其与 $ ho$-扭曲表示的复合，分析算子范数 $N_{ heta, ho}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 海森堡型群上球面极大函数的 $L^p$ 有界性是否可推广至自由两步幂零群 $N_{v,2}$？
• RQ2 在 $N_{v,2}$ 上，有界球函数的结构是怎样的？能否通过表示理论显式计算？
• RQ3 如何表达 $N_{v,2}$ 上的径向普兰彻尔测度？它在控制面积函数中起什么作用？
• RQ4 $N_{v,2}$ 上面积函数的 $L^2$-范数是多少？如何通过谱与调和分析技术进行估计？
• RQ5 在 $N_{v,2}$ 上，乘子算子的行为如何？在何种条件下可保证其 $L^p$ 有界性？

主要发现

• 球面极大函数在 $N_{v,2}$ 上对所有 $p > 1$ 满足 $L^p$ 有界性，扩展了海森堡型群上的已知结果。
• 利用轨道方法与半直积群 $N_{v,2} \rtimes O(v)$ 的表示理论，推导出 $N_{v,2}$ 上有界球函数的显式公式。
• $N_{v,2}$ 上的径向普兰彻尔测度以特殊函数（包括拉盖尔型函数与贝塞尔函数）表示。
• 通过谱估计与径向普兰彻尔测度，控制了 $N_{v,2}$ 上面积函数的 $L^2$-范数，从而实现插值。
• 在适当条件下，$N_{v,2}$ 上的乘子算子在 $L^p$ 上有界，其范数估计源自径向傅里叶演算。
• 解析族算子方法成功地将球面极大函数在 $N_{v,2}$ 上的 $L^p$ 有界性从 $p=2$ 推广至 $p<2$，其方法与欧氏及海森堡情形中的技术一致。