[论文解读] Etude des mesures hyperboliques pour les applications meromorphes

Henry de Thélin, Franck Nguyen Van Sang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

本文在紧致复流形上的解析动力系统中，为非一致双曲测度建立了闭包引理，扩展了Katok的经典结果。进一步证明此类测度可被伯努利编码的动力系统以任意精度逼近，熵与测度收敛，从而实现了对具有奇点的非可逆全纯映射的符号动力系统逼近。

ABSTRACT

We prove a Closing Lemma for nonuniformly hyperbolic measures of meromorphic maps. We prove also a theorem of approximation of the dynamics of such measures by Bernoulli coding maps.

研究动机与目标

• 将$C^{1+α}$微分同胚的闭包引理推广至紧致复流形上的解析映射。
• 解决解析动力系统中非可逆性与奇点集带来的挑战。
• 证明非一致双曲测度可被伯努利编码系统逼近。
• 建立逼近过程中熵与博雷尔测度的收敛性。
• 将符号动力系统逼近技术推广至非可逆、具有奇点的全纯映射。

提出的方法

• 使用Pesin理论与适用于具有奇点集的解析映射的图变换技术。
• 构造一个可测且连续的编码映射$S_0: \{1,\dots,N\}^{\mathbb{Z}} \to \Lambda_0$，使得$f^n \circ S_0 = S_0 \circ \sigma$，其中$\sigma$为移位映射。
• 定义测度$\nu_0 = (S_0)_* \lambda_0$，其中$\lambda_0$为伯努利测度，确保$h_{\nu_0}(f^n) \geq n(h_\mu(f) - \rho)$。
• 利用Brin-Katok熵公式，通过柱集测度估计拓扑熵。
• 构造一个全$f$-不变测度$\nu = \frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1} (f^l)_* \nu_0$，其支撑集为$\Lambda = \bigcup_{l=0}^{n-1} f^l(\Lambda_0)$。
• 通过一致连续性证明逼近关系：对所有$\varphi_i \in C^0(X,\mathbb{R})$，有$|\int \varphi_i d\nu - \int \varphi_i d\mu| < \rho$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在奇点集与非可逆性的情况下，是否可为解析动力系统中的非一致双曲测度建立闭包引理？
• RQ2 是否可利用具有伯努利编码的符号系统逼近此类测度的动力学？
• RQ3 在逼近过程中，如何控制拓扑熵与度量熵？
• RQ4 在何种条件下，逼近测度$\nu$为$f$-不变且在弱*拓扑下与$\mu$接近？
• RQ5 在何种条件下，编码映射$S_0$为同胚，从而诱导出马蹄结构？

主要发现

• 对任意$\rho > 0$，存在$n \geq 1$及编码映射$S_0$，其符号数$N = e^{h_\mu(f)n - \rho n}$，使得$h_{\nu_0}(f^n) \geq n(h_\mu(f) - \rho)$。
• 映射$f$在$\Lambda_0$上的限制的拓扑熵满足$h_{\mathrm{top}}(f|_{\Lambda_0}) \geq h_\mu(f) - \rho$。
• 集合$\Lambda = \bigcup_{l=0}^{n-1} f^l(\Lambda_0)$位于$\mathrm{supp}(\mu)$的$\rho$-邻域内。
• $f$-不变测度$\nu = \frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1} (f^l)_* \nu_0$满足：对所有$\varphi_i \in C^0(X,\mathbb{R})$，有$|\int \varphi_i d\nu - \int \varphi_i d\mu| < \rho$。
• 若$f$可逆且$\int \log d(x,I(f^{-1})) d\mu(x) > -\infty$，则$S_0$为同胚，且$\Lambda$构成马蹄结构。
• 逼近是有效的：熵与测度的收敛性由$\rho$控制，符号数为$N = e^{h_\mu(f)n - \rho n}$。