[论文解读] Euclid's theorem on the infinitude of primes: a historical survey of its proofs (300 B.C.--2022) and another new proof

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

History and Theory of Mathematics参考文献 88被引用 10

一句话总结

本文对欧几里得素数无穷定理的200种证明进行了全面的历史综述，时间跨度从公元前300年到2022年，其中包括2012–2017年间的14种证明和2018–2022年间的18种证明。文章提出了一种新的初等证明，基于对 $ n^s $ 和 $ n-1 $ 的代数运算，通过直接导出矛盾来避免依赖欧几里得引理。

ABSTRACT

{\bf In the fourth extended version of this article, we provide a comprehensive historical survey of 200 different proofs of famous Euclid's theorem on the infinitude of prime numbers (300 {\small B.C.}--2022)}. The author is trying to collect almost all the known proofs on infinitude of primes, including some proofs that can be easily obtained as consequences of some known problems or divisibility properties. Furthermore, here are listed numerous elementary proofs of the infinitude of primes in different arithmetic progressions. All the references concerning the proofs of Euclid's theorem that use similar methods and ideas are exposed subsequently. Namely, presented proofs are divided into the first five subsections of Section 2 in dependence of the methods that are used in them. 14 proofs which are proved from 2012 to 2017 are given in Subsection 2.9, and 18 recent proofs from 2018 to 2022 are presented in Subsection 2.10. In Section 3, we mainly survey elementary proofs of the infinitude of primes in different arithmetic progressions. Presented proofs are special cases of Dirichlet's theorem. In Section 4, we give a new simple ''Euclidean's proof'' of the infinitude of primes.

研究动机与目标

• 整理并系统化从公元前300年到2022年几乎所有已知的欧几里得素数无穷定理的证明。
• 基于基础数学方法（如代数数论、欧拉乘积公式和拓扑论证）对证明进行详细分类。
• 综述算术级数中素数无穷性的初等证明，包括狄利克雷定理的特殊情况。
• 提出一种新颖的、简洁的欧几里得定理初等证明，避免使用欧几里得引理，转而通过 $ n^s $ 和 $ n-1 $ 的代数运算直接导出矛盾。
• 强调证明技术的多样性和演变过程，表明同一定理的多种证明揭示了不同的数学洞察和推广可能性。

提出的方法

• 将证明分为五大类方法：欧几里得思想、哥德巴赫关于互素整数的思想、代数数论、欧拉基于发散级数与黎曼ζ函数的方法，以及组合或拓扑方法。
• 利用代数恒等式导出矛盾：对 $ n = p_1 p_2 \cdots p_k $，证明 $ \frac{n^s}{n-1} = \sum_{i=0}^{s-1} n^i + \frac{1}{n-1} $，从而推出 $ \frac{1}{n-1} $ 为整数，与 $ n-1 \geq 4 $ 矛盾。
• 证明新证明仅依赖于算术基本定理（唯一素因数分解），而无需使用欧几里得引理。
• 展示2012–2017年间的14种证明和2018–2022年间的18种证明，包括基于多项式根、递推序列和卢卡斯序列性质的证明。
• 通过使用 $ a^2 \equiv 1 \pmod{24} $、多项式因式分解和二次互反律等方法，综述算术级数中素数无穷性的初等证明。
• 利用历史文献和数学文献追踪跨世纪的证明技术发展及其相互关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧几里得素数无穷定理的200种证明可被归类为主流方法的哪些主要类别？
• RQ2 近期证明（2018–2022年）如何扩展或区别于经典方法，如欧几里得原始证明或欧拉基于级数发散的论证？
• RQ3 能否构造一种新的初等证明来证明素数无穷性，避免使用欧几里得引理，同时保持欧几里得原始结构的简洁性？
• RQ4 素数在算术级数中无穷性的证明与狄利克雷定理等更深层次定理之间有何联系？
• RQ5 不同证明技术在推广到其他数论命题或揭示新结构洞见方面，以何种方式发挥作用？

主要发现

• 本文整理了200种欧几里得定理的独立证明，其中包括44种关于特殊算术级数中素数无穷性的证明。
• 通过假设素数有限，令 $ n = p_1 p_2 \cdots p_k $，并证明 $ \frac{n^s}{n-1} = \sum_{i=0}^{s-1} n^i + \frac{1}{n-1} $ 推出 $ \frac{1}{n-1} $ 为正整数，与 $ n-1 \geq 4 $ 矛盾，从而构造出新证明。
• 新证明完全避免使用欧几里得引理，仅依赖于素因数分解的存在性，因此比许多经典变体更加初等。
• 综述表明，基于代数数论、欧拉乘积公式和富尔斯特恩伯格拓扑方法的证明在基础假设和可推广性方面均有效且各具特色。
• 算术级数中素数无穷性的初等证明（如 $ 1 \pmod{3} $、$ 1 \pmod{8} $ 和 $ 4 \pmod{15} $）可通过多项式根、递推序列和二次互反律推导得出。
• 本文确认，欧几里得原始证明在2300年后的今天依然具有根本性的新颖性和洞察力，其相关性和原创性毫发未损。