[论文解读] Euclidean formulation of general relativity

José B. Almeida|ArXiv.org|Jun 7, 2004

Relativity and Gravitational Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于四维欧几里得空间与张量折射率的广义相对论几何表述，将引力建模为类似光学的传播过程。通过将此四维欧几里得框架（4DO）与具有签名 (−++++) 的五维空间的零子空间关联，推导出折射率与源之间的张量方程，所得解可重现类史瓦西度规，并在通过指数折射率引入惯性质量后，无需暗物质即可解释宇宙膨胀。

ABSTRACT

A variational principle is applied to 4D Euclidean space provided with a tensor refractive index, defining what can be seen as 4-dimensional optics (4DO). The geometry of such space is analysed, making no physical assumptions of any kind. However, by assigning geometric entities to physical quantities the paper allows physical predictions to be made. A mechanism is proposed for translation between 4DO and GR, which involves the null subspace of 5D space with signature $(-++++)$. A tensor equation relating the refractive index to sources is established geometrically and the sources tensor is shown to have close relationship to the stress tensor of GR. This equation is solved for the special case of zero sources but the solution that is found is only applicable to Newton mechanics and is inadequate for such predictions as light bending and perihelium advance. It is then argued that testing gravity in the physical world involves the use of a test charge which is itself a source. Solving the new equation, with consideration of the test particle's inertial mass, produces an exponential refractive index where the Newtonian potential appears in exponent and provides accurate predictions. Resorting to hyperspherical coordinates it becomes possible to show that the Universe's expansion has a purely geometric explanation without appeal to dark matter.

研究动机与目标

• 仅基于四维欧几里得空间与张量折射率，发展一个纯粹几何的引力框架，不依赖任何先验物理假设。
• 通过签名为 (−++++) 的五维空间的零子空间，建立四维欧几里得几何与时空之间的正式联系。
• 推导出折射率与源之间关系的几何方程，展示其与广义相对论中应力-能量张量的关联。
• 求解球对称情况下的折射率方程，包括测试粒子惯性质量的影响。
• 探讨超球坐标系在无需引入暗物质的情况下解释宇宙膨胀与星系旋转曲线的含义。

提出的方法

• 在签名为 (−++++) 的五维空间中使用几何代数（克利福德代数），定义具有张量折射率的四维欧几里得子空间。
• 在四维欧几里得空间中应用变分原理，推导出类似于光学测地线的运动方程。
• 引入折射率的张量方程，从几何上关联曲率源与折射率结构。
• 先求解零源情况下的折射率方程，得到牛顿解；随后通过引入测试粒子的惯性质量重新求解。
• 采用超球坐标系建模宇宙膨胀，将角度坐标替换为距离类变量。
• 使用无量纲单位并以基本常数归一化，以简化方程并统一物理尺度。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论能否在仅使用四维欧几里得空间与折射率张量的条件下，完全以几何方式重新表述？
• RQ2 签名为 (−++++) 的五维空间的零子空间如何作为欧几里得几何与闵可夫斯基时空之间的桥梁？
• RQ3 折射率张量与引力源之间的几何关系是什么？它如何与广义相对论中的应力-能量张量关联？
• RQ4 在折射率方程中包含测试粒子的惯性质量后，对光线偏折与近日点进动等预测有何影响？
• RQ5 能否在不引入暗物质的前提下，通过几何方式解释宇宙膨胀与星系的平坦旋转曲线？

主要发现

• 零源情况下的折射率解给出牛顿类度规，但无法预测光线偏折与近日点进动。
• 引入测试粒子的惯性质量后，得到形式为 $ n_r = e^{2M/r} $ 的指数折射率，与广义相对论中史瓦西解在一阶近似下一致。
• 解 $ n_4 = e^{M/r} $ 将惯性质量定义为折射率分量 $ n_4 $ 的拉普拉斯算子，从而在几何上建立与惯性的联系。
• 在 $ r au^{-1} au ext{ dot} $ 不可忽略时，超球坐标系可提供无需暗物质的宇宙膨胀几何解释。
• 该模型表明，星系中平坦的旋转曲线也可通过同一几何框架解释，无需引入暗物质。
• 源张量的16个分量被推测与广义相对论中应力-能量张量的分量具有强烈的结构类比，尽管完整对应关系仍有待验证。