[论文解读] Euler characteristic number of the energy band and the reason for its non-integer values

Yu-Quan Ma|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过证明非整数欧拉特征数的出现并非源于拓扑缺陷或边界效应，而是源于拓扑 trivial 相中量子度量张量的简并（奇点），解决了拓扑能带中非整数欧拉特征数的困惑。研究证明，仅在具有非零贝里曲率的拓扑非平庸相中，量子度量才是正定的，从而通过高斯-博内定理确保欧拉数有定义且为偶数。

ABSTRACT

The topological Euler characteristic number of the energy band proposed in our previous work (see Yu-Quan Ma et al., arXiv:1202.2397; EPL 103, 10008 (2013)) has been recently experimentally observed by X. Tan et al., Phys. Rev. Lett. extbf{122}, 210401 (2019), in which a topological phase transition in a time-reversal-symmetric system simulated by the superconducting circuits is witnessed by the Euler number of the occupied band instead of the vanishing Chern number. However, we note that there are some confusions about the non-integer behaviors of the Euler number in the topological trivial phase. In this paper, we show that the reason is straightforward because the quantum metric tensor $g_{μν} $ is actually positive semi-definite. In a general two-dimensional two-band system, we can proved that: (1) If the phase is topological trivial, then the quantum metric must be degenerate (singular)~--- $\det {g_{μν} }=0$ in some region of the first Brillouin zone. This leads to the invalidity of the Gauss-Bonnet formula and exhibits an ill-defined ``non-integer Euler number''; (2) If the phase is topological nontrivial with a non-vanishing Berry curvature, then the quantum metric will be a positive definite Riemann metric in the entire first Brillouin zone. Therefore the Euler number of the energy band will be guaranteed an even number $χ=2(1-g)$ by the Gauss-Bonnet theorem on the closed two-dimensional Bloch energy band manifold with the genus $g$, which provides an effective topological index for a class of nontrivial topological phases.

研究动机与目标

• 解决实验测量拓扑相变过程中观察到的非整数欧拉特征数的困惑。
• 澄清两能带系统平凡相中未定义欧拉数的物理起源。
• 建立能量带欧拉数有定义且拓扑有意义的严格判据。
• 区分 $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 曲面的拓扑结构与动量空间中实际能带流形之间的差异。
• 证明量子度量的正定性是两能带系统中欧拉数有定义的充分必要条件。

提出的方法

• 分析作为 U(1) 规范不变量子几何张量实部的量子度量张量 $g_{\mu\nu}$，强调其半正定性质。
• 将高斯-博内定理应用于第一布里渊区内闭合的二维布洛赫能带流形，推导出欧拉特征数 $\chi = 2(1 - g)$。
• 证明在拓扑平凡相中，当贝里曲率为零时，$\det g_{\mu\nu} = 0$，导致高斯-博内公式不适用。
• 以哈尔丹模型为例，表明在非平庸相（$C_1 = \pm 1$）中 $\chi = 2$，而在平凡相（$C_1 = 0$）中则未定义（非整数）。
• 对比 $\mathcal{C}P^1 \cong S^2$ 上的富比尼-斯蒂udy 度量与参数流形 $\mathcal{M}_\mathbf{k}$ 上的量子度量，阐明其不同作用。
• 证明 $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 曲面的欧拉数与能带流形的欧拉数不拓扑等价，尤其在存在边界时。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在两能带系统拓扑平凡相中会出现非整数欧拉特征数？
• RQ2 平凡相中未定义欧拉数的物理起源是什么？是否与边界贡献或度量奇点有关？
• RQ3 量子度量 $g_{\mu\nu}$ 的正定性与能带拓扑分类有何关系？
• RQ4 当陈数为零时，是否存在一个能一致表征非平庸相的拓扑不变量？
• RQ5 关于能量带流形，$\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 曲面的正确拓扑解释是什么？

主要发现

• 在拓扑平凡相中，当贝里曲率为零时，量子度量 $g_{\mu\nu}$ 会退化（$\det g_{\mu\nu} = 0$），导致高斯-博内公式失效。
• 在具有非零贝里曲率的拓扑非平庸相中，量子度量在整个第一布里渊区内为正定，从而确保欧拉数有定义且为偶数。
• 通过高斯-博内定理，能带的欧拉数被保证为 $\chi = 2(1 - g)$，其中 $g$ 是闭合二维布洛赫能带流形的亏格。
• $\vec{d}(\mathbf{k})/d(\mathbf{k})$ 曲面的欧拉数与能带流形的欧拉数不等价；例如，在哈尔丹模型中，前者因边界存在而为零，而后者在非平庸相中为 $\chi = 2$。
• 实验中在平凡相观察到的非整数欧拉数并非源于缺失的边界项，而是度量奇点的产物，而非拓扑结构。
• 量子度量的正定性是两能带系统中欧拉数有定义的充分必要条件，其条件强于仅具有非平庸陈数。