[论文解读] Euler Characteristic of real nondegenerate tropical complete intersections

Benoît Bertrand, Frédéric Bihan|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文证明了实非退化热带完备交的欧拉特征仅取决于定义其的热带多项式的牛顿多面体，并等于相应复完备交的混合符号。作者将热带交重重数定义为混合体积之和，证明所有非零重数恰好为1，并通过E-多项式与可加性性质，将一般情形约化至环面超曲面情形，从而将先前关于超曲面的结果推广至完备交。

ABSTRACT

We define nondegenerate tropical complete intersections imitating the corresponding definition in complex algebraic geometry. As in the complex situation, all nonzero intersection multiplicity numbers between tropical hypersurfaces defining a nondegenerate tropical complete intersection are equal to 1. The intersection multiplicity numbers we use are sums of mixed volumes of polytopes which are dual to cells of the tropical hypersurfaces. We show that the Euler characteristic of a real nondegenerate tropical complete intersection depends only on the Newton polytopes of the tropical polynomials which define the intersection. Basically, it is equal to the usual signature of a complex complete intersection with same Newton polytopes, when this signature is defined. The proof reduces to the toric hypersurface case, and uses the notion of $E$-polynomials of complex varieties.

研究动机与目标

• 将实热带超曲面的欧拉特征结果推广至完备交情形。
• 类比复代数设定，定义非退化热带完备交，确保所有非零交重重数恰好为1。
• 证明此类完备交实部的欧拉特征仅由定义多项式的牛顿多面体决定。
• 证明该欧拉特征等于对应复完备交的混合符号，即使复流形非射影亦成立。
• 通过E-多项式的可加性与Batyrev-Borisov关于Hodge理论的结果，将一般完备交情形约化至环面超曲面情形。

提出的方法

• 通过模仿复代数定义定义非退化热带完备交，利用牛顿多面体确保横截性。
• 将热带交重重数定义为对偶多面体混合体积之和，推广Mikhalkin的定义。
• 证明此类交重中所有非零重数恰好为1，与复情形保持一致。
• 利用复代数簇的E-多项式定义混合符号，其可加性在非射影簇上亦成立。
• 通过E-多项式的可加性与牛顿多面体的结构，将一般完备交情形约化至环面超曲面情形。
• 利用Batyrev与Borisov关于环面超曲面Hodge理论的结果计算符号并确立主要结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 实非退化热带完备交的欧拉特征是否仅取决于定义多项式的牛顿多面体？
• RQ2 是否可定义一种热带交重重数，使其推广复情形且所有非零重数恰好为1？
• RQ3 热带完备交实部的欧拉特征是否等于对应复完备交的混合符号？
• RQ4 如何通过E-多项式将复完备交的符号扩展至非射影情形？
• RQ5 能否通过E-多项式等代数不变量，将完备交的一般情形约化至环面超曲面情形？

主要发现

• 实非退化热带完备交的欧拉特征完全由定义其的热带多项式的牛顿多面体决定。
• 非退化完备交中所有非零热带交重重数恰好为1，与复情形一致。
• 实热带完备交的欧拉特征等于具有相同牛顿多面体的对应复完备交的混合符号。
• 由于E-多项式的可加性，混合符号在非射影复完备交上亦有良好定义。
• 证明通过E-多项式的可加性与Batyrev-Borisov关于Hodge理论的结果，将一般情形约化至环面超曲面情形。
• 对所有 l = 1, ..., n 建立关键恒等式 S_{l,n} = C_{l,n}，通过二项式系数与Stirling数的组合恒等式确认符号公式。