[论文解读] Euler Characteristics and their Congruences for Multi-signed Selmer Groups

Anwesh Ray, R. Sujatha|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文在 $p$-相 congruent 椭圆曲线在 $p$ 处具有混合半稳定约化的情形下，建立了截断欧拉特征的同余关系。通过分析非本原 Selmer 群并利用 Iwasawa 不变量，作者证明了当 $\mu$-不变量为零时，$p$-相 congruent 曲线的 $\lambda$-不变量与截断欧拉特征在模 $p$ 意义下同余，将先前结果推广至混合约化情形，并给出了最优素数集合。

ABSTRACT

The notion of the truncated Euler characteristic for Iwasawa modules is a generalization of the the usual Euler characteristic to the case when the cohomology groups are not finite. Let $p$ be an odd prime, $E_1$ and $E_2$ be elliptic curves over a number field $F$ with semistable reduction at all primes $v|p$ such that the $\operatorname{Gal}(\bar{F}/F)$-modules $E_1[p]$ and $E_2[p]$ are irreducible and isomorphic. We compare the Iwasawa invariants of certain imprimitive multisigned Selmer groups of $E_1$ and $E_2$. Leveraging these results, congruence relations for the truncated Euler characteristics associated to these Selmer groups over certain $\mathbb{Z}_p^m$-extensions of $F$ are studied. Our results extend earlier congruence relations for elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with good ordinary reduction at $p$.

研究动机与目标

• 将 Greenberg-Vatsal 与 B.D. Kim 关于 $p$-相 congruent 椭圆曲线的结果推广至 $p$ 处混合半稳定约化的情形。
• 研究数域 $F$ 上 $p$-相 congruent 椭圆曲线 $E_1$ 与 $E_2$ 的非本原多符号 Selmer 群的 Iwasawa 不变量之间的关系。
• 在 $\mathbb{Z}_p^m$-扩张上，建立这些 Selmer 群截断欧拉特征的同余关系。
• 构造一个严格小于完整坏约化集 $\Sigma_0$ 的最优素数集 $\Sigma_1$，使得在 $p$-相 congruence 下，非本原不变量一致。
• 通过 $\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{Q}(i)$ 上的显式例子验证这些同余关系，证明 $\Phi_{E,\Sigma_1}$ 可被 $p$ 整除，并且欧拉特征一致。

提出的方法

• 定义以 $\ddagger \in \{+,-\}^d$ 索引的多符号 Selmer 群 $\operatorname{Sel}^{\ddagger}(E/F^{\operatorname{cyc}})$，其中 $d$ 为在 $p$ 上具有良好奇异约化的素点个数。
• 利用关于一组素数 $\Sigma_1$（满足 $v \nmid p$ 且 $E_1$ 或 $E_2$ 在其上具有坏约化）的非本原 Selmer 群，比较 Iwasawa 不变量。
• 应用 $\mathbb{Z}_p^m$-扩张上的 Iwasawa 理论技术，假设 Selmer 群属于范畴 $\mathfrak{M}_H(G)$。
• 利用 Iwasawa 代数的结构与特征理想理论，比较 $E_1$ 与 $E_2$ 的 $\mu$-与 $\lambda$-不变量。
• 将截断欧拉特征 $\chi_t(G,E)$ 定义为当秩为正时 $p$-主 Selmer 群的欧拉特征，并通过 $\Phi_{E,\Sigma_1}$ 与 $L$-值建立联系。
• 通过显式计算 $L$-因子与塔加莫瓦乘积，在例子中验证同余关系，特别展示了 $\Phi_{E_1,\Sigma_1}$ 的 $5$-整除性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$p$-相 congruent 椭圆曲线在 $p$ 处具有混合半稳定约化时，其非本原多符号 Selmer 群的 $\mu$-不变量同构？
• RQ2 当 $\mu$-不变量为零时，能否证明 $p$-相 congruent 椭圆曲线的非本原多符号 Selmer 群的 $\lambda$-不变量一致？
• RQ3 在混合约化情形下，多符号 Selmer 群的截断欧拉特征在 $p$-相 congruence 下如何表现？
• RQ4 能否构造一个满足 $\Sigma_1 \subset \Sigma_0$ 的最优素数集 $\Sigma_1$，使得 $E_1$ 与 $E_2$ 的非本原 Iwasawa 不变量一致，且 $\Sigma_1$ 严格小于 $\Sigma_0$？
• RQ5 截断欧拉特征 $\chi_t(G,E)$ 与乘积 $\Phi_{E,\Sigma_1}$ 之间有何关系？该关系如何与模 $p$ 的同余联系起来？

主要发现

• 若 $E_1$ 的非本原多符号 Selmer 群的 $\mu$-不变量为零，则在 $p$-相 congruence 下，$E_2$ 的 $\mu$-不变量也为零。
• 当两个 $\mu$-不变量均为零时，$E_1$ 与 $E_2$ 的非本原多符号 Selmer 群的 $\lambda$-不变量相等。
• 当 $r_{E_1}^\ddagger < r_{E_2}^\ddagger$ 时，截断欧拉特征 $\chi_t(\Gamma, E_1)$ 与 $\chi_t(\Gamma, E_2)$ 模 $p$ 同余，如示例 2 所示。
• 在 $\mathbb{Q}$ 上的示例 1 中，$\chi^\pm(\Gamma, E_1)$ 与 $\chi^\pm(\Gamma, E_2)$ 均等于 1，表明欧拉特征一致。
• 在 $\mathbb{Q}(i)$ 上的示例 2 中，$\Phi_{E_1,\Sigma_1}$ 可被 5 整除，且因 $r_{E_1}^\ddagger = 0 < r_{E_2}^\ddagger = 1$，定理 5.5 推出 $5$ 整除 $\Phi_{E_1,\Sigma_1} \times \chi(\Gamma, E_1)$，经显式计算验证。
• 在 $\mathbb{Z}_p^2$-扩张 $\mathcal{F}_\infty$ 上，推论 6.6 确认 $\chi_t(G, E_1) = \chi_t(G, E_2)$，确立了截断欧拉特征的同余关系。