[论文解读] Euler-Maruyama Approximations for Stochastic McKean-Vlasov Equations with Non-Lipschitz Coefficients

Xiaojie Ding, Huijie Qiao|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文通过欧拉-丸山逼近方法，建立了非利普希茨系数下随机麦科恩-弗拉斯科夫方程强解的存在性与唯一性。在线性增长与非利普希茨条件下，证明了最优强收敛速率 $ O(2^{-n}) $，避免了通过复杂鞅解构造方法，而是采用直接逼近技术。

ABSTRACT

In this paper we study a type of stochastic McKean-Vlasov equations with non-Lipschitz coefficients. Firstly, by an Euler-Maruyama approximation existence of its weak solutions is proved. And then we observe pathwise uniqueness of its weak solutions. Finally, it is shown that the Euler-Maruyama approximation has an optimal strong convergence rate.

研究动机与目标

• 在非利普希茨系数条件下，建立随机麦科恩-弗拉斯科夫方程弱解的存在性。
• 在两种非利普希茨条件下，证明弱解的路径唯一性。
• 通过弱解存在性与路径唯一性的结合，证明强解的存在性与唯一性。
• 分析此类方程的欧拉-丸山逼近的收敛速率。
• 通过直接逼近方法，提供一种替代复杂鞅解构造的更简单方法。

提出的方法

• 使用欧拉-丸山逼近方法，在线性增长与非利普希茨条件下证明解的弱存在性。
• 应用不动点论证与紧性论证，建立逼近序列的收敛性。
• 利用伯克霍尔德-戴维斯-冈迪（BDG）不等式与赫尔德不等式，控制随机积分的矩。
• 引入连续模 $ \kappa_\eta $ 以处理系数中的非利普希茨行为。
• 结合格朗沃尔型不等式与迭代估计，界定精确解与近似解之间的差异。
• 应用文献[10]中的引理144及[13]的结果，推导逼近误差的指数衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数为非利普希茨且满足线性增长时，随机麦科恩-弗拉斯科夫方程的弱解是否存在？
• RQ2 在何种非利普希茨条件下，弱解的路径唯一性得以保证？
• RQ3 在这些条件下，欧拉-丸山格式是否强收敛于真实解？
• RQ4 此类方程的欧拉-丸山逼近的最优收敛速率是多少？
• RQ5 能否通过逼近方法直接构造鞅解，而无需使用复杂的测度论工具？

主要发现

• 在满足线性增长与非利普希茨条件时，通过欧拉-丸山逼近方法，随机麦科恩-弗拉斯科夫方程的弱解存在。
• 在两种不同的非利普希茨条件下，路径唯一性成立，从而可构造强解。
• 欧拉-丸山逼近以最优速率 $ O(2^{-n}) $ 强收敛于真实解。
• 收敛速率通过矩估计、BDG不等式及迭代格朗沃尔型论证推导得出。
• 该方法通过直接逼近构造鞅解，避免了先前工作中复杂的计算。
• 误差界 $ \mathbb{E}\left(\sup_{t\in[0,T]}|X_t^n - X_t|^2\right) = O(2^{-n}T_0) $ 确认了最优收敛速率。