[论文解读] Euler number of the compactified Jacobian and multiplicity of rational curves

Barbara Fantechi, Lothar Gœttsche+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 75

一句话总结

本文通过证明具有平面奇点的有理曲线的紧化雅可比簇的欧拉特征数等于其半普遍形变空间中 $δ$-常数层的重数，建立了代数几何与枚举几何之间的深刻联系。关键结果表明，该欧拉特征数与丘成桐、扎斯洛及博伊乌所赋予 K3 曲面上有理曲线的重数一致，且等于到该曲线的稳定映射模空间的长度，从而为曲线计数不变量提供了几何解释。

ABSTRACT

We show that the Euler number of the compactified Jacobian of a rational curve $C$ with locally planar singularities is equal to the multiplicity of the $δ$-constant stratum in the base of a semi-universal deformation of $C$. In particular, the multiplicity assigned by Yau, Zaslow and Beauville to a rational curve on a K3 surface $S$ coincides with the multiplicity of the normalisation map in the moduli space of stable maps to $S$.

研究动机与目标

• 建立具有平面奇点的有理曲线的紧化雅可比簇的欧拉特征数与其形变空间中 $δ$-常数层重数之间的精确关系。
• 为丘成桐、扎斯洛及博伊乌赋予 K3 曲面上有理曲线的重数提供几何解释。
• 证明紧化雅可比簇的欧拉特征数 $e(\overline{J}C)$ 等于到曲线 $C$ 的 genus-zero 稳定映射模空间的长度。
• 提供一种通过代数几何技术（包括加权 Bézout 定理）计算奇点重数的计算框架。

提出的方法

• 使用具有平面奇点的曲线 $C$ 的半普遍形变族 $\mathcal{C} \to B$ 来研究相对紧化雅可比簇 $\overline{J}\mathcal{C}$。
• 证明 $\overline{J}\mathcal{C}$ 在基空间 $B$ 上光滑，且 $\overline{J}\mathcal{C}'$ 在子族上光滑的条件取决于与 $δ$-常数层的切锥的横截性。
• 构造一个一维参数族的 $δ$-维子空间 $W_t \subset B$，使得对一般 $t$，有 $W_t \cap B^\delta$ 由 $m(C,p)$ 个不同的节点曲线组成。
• 应用拓扑不变性：欧拉特征数 $e(\overline{J}\mathcal{C}_t)$ 在 $t$ 上为常数，从而允许在 $t=0$ 处比较 $e(\overline{J}C)$ 与 $t \neq 0$ 处的 $m(C,p)$。
• 通过形变理论与代数几何方法，利用齐次多项式形变与自同构的消除，显式计算模空间 $M_{g,0}(C,[C])$ 的长度。
• 应用加权 Bézout 定理，计算由方程 $f^q = g^p$ 定义的零维概形的长度，其中 $f$ 和 $g$ 是单基式的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平面奇点的有理曲线的紧化雅可比簇的欧拉特征数是否等于其形变空间中 $δ$-常数层的重数？
• RQ2 丘成桐、扎斯洛及博伊乌赋予 K3 曲面上有理曲线的重数是否与该曲线的紧化雅可比簇的欧拉特征数一致？
• RQ3 到有理曲线 $C$ 的 genus-zero 稳定映射模空间的长度能否被解释为与 $δ$-常数层相关的几何不变量？
• RQ4 如何通过形变理论与交比理论代数地计算平面曲线奇点的重数 $m(C,p)$？

主要发现

• 具有平面奇点的有理曲线 $C$ 的紧化雅可比簇 $\overline{J}C$ 的欧拉特征数等于其半普遍形变基空间中 $δ$-常数层的重数 $m(C)$。
• 对于具有单个平面奇点 $(C,p)$ 的有理曲线 $C$，局部紧化雅可比簇的欧拉特征数 $e(M(C,p))$ 等于该奇点处 $δ$-常数层的重数 $m(C,p)$。
• 对于型为 $y^p z^{q-p} = x^q$ 的环面奇点，重数为 $m(C,o) = \frac{1}{p+q} \binom{p+q}{p}$。
• 到曲线 $C$ 的 genus-$g$ 稳定映射模空间 $M_{g,0}(C,[C])$ 的长度等于重数 $m(C)$，从而为该不变量提供了几何实现。
• 对于光滑 $\mathrm{K3}$ 曲面 $X$ 中的有理曲线 $C$，紧化雅可比簇的欧拉特征数 $e(\overline{J}C)$ 等于 $M_{0,0}(X,d)$ 中支持在正规化映射上的零维分支的长度，从而将曲线计数与模空间几何联系起来。
• 重数 $m(C,p)$ 的计算可归约为求解在加权变量中由 $p+q-2$ 个齐次方程定义的零维概形，其长度由加权 Bézout 公式给出。