[论文解读] Euler Obstruction and Defects of Functions on Singular Varieties

Jean‐Paul Brasselet, David B. Massey+2 more|ArXiv.org|Feb 19, 2003

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文引入了一个缺陷不变量 $ D_{f,X}(0) $，用于衡量在奇异簇上使用奇异函数而非一般线性形式时，局部欧拉障碍不满足莱夫谢茨型公式的程度。研究证明该缺陷等于函数 $ f $ 的消失上同调的欧拉特征，并通过 Lê-Vogel 数给出了代数公式，统一了孤立奇点情形下的米尔诺数与局部欧拉障碍。

ABSTRACT

Several authors have proved Lefschetz type formulae for the local Euler obstruction. In particular, a result of this type is proved in [BLS].The formula proved in that paper turns out to be equivalent to saying that the local Euler obstruction, as a constructible function, satisfies the local Euler condition (in bivariant theory) with respect to general linear forms. The purpose of this work is to understand what prevents the local Euler obstruction of satisfying the local Euler condition with respect to functions which are singular at the considered point. This is measured by an invariant (or ``defect'') of such functions that we define below. We give an interpretation of this defect in terms of vanishing cycles, which allows us to calculate it algebraically. When the function has an isolated singularity, our invariant can be defined geometrically, via obstruction theory. We notice that this invariant unifies the usual concepts of {\it the Milnor number} of a function and of the {\it local Euler obstruction} of an analytic set.

研究动机与目标

• 理解为何在某一点处，局部欧拉障碍在奇异函数下不满足局部欧拉条件。
• 定义并研究一个不变量 $ Eu_{f,X}(0) $，称为函数的局部欧拉障碍，用于度量在纳什变换上扩展梯度提升的障碍。
• 通过缺陷项 $ D_{f,X}(0) $ 将局部欧拉障碍的莱夫谢茨型公式推广至奇异函数的情形。
• 使用导范畴技术与指标定理，从消失上同调的角度解释 $ D_{f,X}(0) $。
• 通过 Lê-Vogel 数提供 $ D_{f,X}(0) $ 的代数公式，尤其在非孤立奇点情形下。

提出的方法

• 将不变量 $ Eu_{f,X}(0) $ 定义为将 $ \overline{\nabla}_X f $ 的提升扩展为纳什丛在纳什变换 $ \widetilde{X} $ 上全局截面的障碍。
• 证明广义莱夫谢茨公式：$ Eu_X(0) = \sum_i \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\varepsilon \cap f^{-1}(t_0)) \cdot Eu_X(V_i) + Eu_{f,X}(0) $，该公式在孤立奇点情形下成立。
• 引入缺陷 $ D_{f,X}(0) := Eu_X(0) - \sum_i \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\varepsilon \cap f^{-1}(t_0)) \cdot Eu_X(V_i) $，即使在非孤立奇点情形下也定义良好。
• 利用 Brylinski、Dubson 和 Kashiwara 的指标定理，证明 $ D_{f,X}(0) = -\chi(\phi_f \mathbb{C}_U^\bullet)_0 $，即消失上同调的欧拉特征。
• 通过函数偏导数的水平集的迭代交集，在余切丛中构造 Lê-Vogel 上同调 $ \Lambda^k_f $，并定义 Lê-Vogel 数 $ \lambda^k_f(0) $ 为与线性子空间的交数。
• 建立公式 $ D_{f,X}(0) = \sum_{k=0}^s (-1)^{d-k} \lambda^k_f(0) $，其中 $ s = \dim_0 \pi(\overline{T^*_{X_{\text{reg}}}U} \cap \text{im } d\widetilde{f}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 是什么阻止了局部欧拉障碍在某一点处对奇异函数 $ f $ 满足局部欧拉条件？
• RQ2 当 $ f $ 具有非孤立奇点时，如何代数计算欧拉障碍的莱夫谢茨型公式的缺陷？
• RQ3 缺陷 $ D_{f,X}(0) $ 在消失上同调的几何与拓扑意义是什么？
• RQ4 新的 Lê-Vogel 数如何推广经典 Lê 数，并与米尔诺数相关？
• RQ5 不变量 $ Eu_{f,X}(0) $ 以何种方式统一了米尔诺数与局部欧拉障碍？

主要发现

• 缺陷 $ D_{f,X}(0) $ 等于 $ f $ 的消失上同调的负欧拉特征，即 $ D_{f,X}(0) = -\chi(\phi_f \mathbb{C}_U^\bullet)_0 $。
• 在孤立奇点情形下，$ D_{f,X}(0) = Eu_{f,X}(0) $，且该不变量（符号除外）与米尔诺数 $ \mu $ 一致，故 $ D_{f,X}(0) = (-1)^d \mu $。
• 当 $ X = \mathbb{C}^d $ 时，缺陷 $ D_{f,X}(0) $ 恰好等于 $ f $ 的米尔诺数（符号除外），从而统一了这两个经典不变量。
• 缺陷 $ D_{f,X}(0) $ 可代数计算为 $ \sum_{k=0}^s (-1)^{d-k} \lambda^k_f(0) $，其中 $ \lambda^k_f(0) $ 是通过余切丛中交集理论定义的 Lê-Vogel 数。
• Lê-Vogel 上同调 $ \Lambda^k_f $ 通过与 $ f $ 的微分图的迭代交集构造，其投影给出了公式中使用的上同调。
• 当 $ f $ 为常值函数时，$ D_{f,X}(0) = Eu_X(0) $，表明缺陷在无函数诱导扰动时完整捕获了欧拉障碍。