[论文解读] Euler's divergent series in arithmetic progressions

Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Tapani Matala-aho+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文证明，对于任意非零整数 ξ 和有理数 a/b，存在无穷多个素数 p，这些 p 属于模 m（m ≥ 3）的约化剩余类中超过一半的类，使得欧拉发散阶乘级数的 p 进赋值 Fₚ(ξ) 不等于 a/b。通过整体关系理论与 p 进分析，作者证明了满足 Fₚ(ξ) = a/b 的素数集合不可能包含模 m 的超过一半剩余类，从而表明 Fₚ(ξ) 在正密度的素数上避开有理数值。

ABSTRACT

Let $ξ$ and $m$ be integers satisfying $ξ e 0$ and $m\ge 3$. We show that for any given integers $a$ and $b$, $b eq 0$, there are $\frac{φ(m)}{2}$ reduced residue classes modulo $m$ each containing infinitely many primes $p$ such that $a-bF_p(ξ) e 0$, where $F_p(ξ)=\sum_{n=0}^\infty n!ξ^n$ is the $p$-adic evaluation of Euler's factorial series at the point $ξ$.

研究动机与目标

• 研究欧拉发散阶乘级数 Fₚ(ξ) = ∑n≥0 n!ξⁿ 在 p 进完备化下的算术行为。
• 确定 Fₚ(ξ) 是否能对无穷多个素数 p 等于给定的有理数 a/b。
• 建立满足 Fₚ(ξ) = a/b 的素数集合不可能包含模 m 的超过一半约化剩余类。
• 将整体关系理论推广，以证明 Fₚ(ξ) ≠ a/b 对正密度的素数成立。

提出的方法

• 使用定理 1，该定理表明：若素数集合 R 满足乘积 ∏|n!|_p² 的某类收敛条件，则存在无穷多个 p ∈ R 使得 Λ(Fₚ(ξ)) ≠ 0。
• 应用 p 进分析与斯特林公式，估算 log|n!|_p 及 p 进绝对值在等差数列中的贡献。
• 利用狄利克雷定理研究素数在模 m 的约化剩余类中的分布。
• 利用广义黎曼猜想（GRH）来优化在剩余类中对 log|n!|_p 求和时的误差项。
• 分析模 m 的 r 个剩余类中 ∏|n!|_p² 的增长，表明当 r > φ(m)/2 时，n! 在乘积中的指数导致负系数 1 - 2r/φ(m)。
• 应用条件 lim supₙ→∞ cⁿ n! ∏|n!|_p² = 0，以验证当 r > φ(m)/2 时，集合 R 满足整体关系条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉阶乘级数的 p 进取值 Fₚ(ξ) 是否能对无穷多个素数 p 等于给定的有理数 a/b？
• RQ2 在模 m 的剩余类结构下，Fₚ(ξ) = a/b 成立的素数最大密度是多少？
• RQ3 是否可能构造一个全局关系集合 G_Λ = {p ∈ ℙ | Λ(Fₚ(ξ)) = 0}，使其包含模 m 的超过一半约化剩余类？
• RQ4 素数在等差数列中的分布如何影响涉及阶乘 p 进范数乘积的收敛性？
• RQ5 是否仅通过模 m 的剩余类即可验证全局关系条件，特别是当 r > φ(m)/2 时？

主要发现

• 对于任意整数 m ≥ 3 和任意非零 ξ，存在无穷多个素数 p，这些 p 属于模 m 的约化剩余类中超过一半的类，使得对任意给定的有理数 a/b，都有 Fₚ(ξ) ≠ a/b。
• 满足 Fₚ(ξ) = a/b 的素数集合不可能包含超过 φ(m)/2 个模 m 的剩余类，这意味着这些有理数值在正密度的素数上被避开。
• 证明表明，在 r 个剩余类中对 ∏|n!|_p² 取积时，n! 的指数导致渐近展开中出现负系数 1 - 2r/φ(m)，从而确保收敛于零。
• 在广义黎曼猜想下，对剩余类中素数求和的误差项被控制在 O(n) 范围内，从而可与主项相消。
• 对于任意模 m 的 r > φ(m)/2 个约化剩余类的并集 R，条件 lim supₙ→∞ cⁿ n! ∏|n!|_p² = 0 成立，确认了定理 1 的适用性。
• 结果表明，Fₚ(ξ) 在正比例的素数上不是有理数，具体而言，在模 m 的任意约化剩余系中，至少有一半的素数满足此性质。