[论文解读] Euler sprays and Wasserstein geometry of the space of shapes

Jian‐Guo Liu, Robert L. Pego+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过Euler喷射构造，将不可压缩形状流形式化为Wasserstein空间中的测地线，表明任意两个等体积形状均可通过椭球测地线的可数叠加近似连接。最小作用量等于Wasserstein距离的平方，仅在1维情况下几乎必然被达到，且每个Wasserstein测地线均可作为不可压缩Euler喷射的弱极限而构造，从而为具有真空的两相流混合物提供了一种松弛化的最小作用量原理的解。

ABSTRACT

As V. I. Arnold observed in the 1960s, the Euler equations of incompressible fluid flow correspond formally to geodesic equations in a group of volume-preserving diffeomorphisms. Working in an Eulerian framework, we study incompressible flows of shapes as critical paths for action (kinetic energy) along transport paths constrained to have characteristic-function densities. The formal geodesic equations for this problem are Euler equations for incompressible, inviscid potential flow of fluid with zero pressure and surface tension on the free boundary. The problem of minimizing this action exhibits an instability associated with microdroplet formation, with the following outcomes: Any two shapes of equal volume can be approximately connected by an Euler spray---a countable superposition of ellipsoidal geodesics. The infimum of the action is the Wasserstein distance squared, and is almost never attained except in dimension 1. Every Wasserstein geodesic between bounded densities of compact support provides a solution of the (compressible) pressureless Euler system that is a weak limit of (incompressible) Euler sprays. Each such Wasserstein geodesic is also the unique minimizer of a relaxed least-action principle for a two-fluid mixture theory corresponding to incompressible fluid mixed with vacuum.

研究动机与目标

• 将不可压缩形状流形式化为在特征函数密度约束下动能泛函的临界路径。
• 识别控制此类流的测地线方程，其对应于自由边界上压强和表面张力为零的不可压缩、无粘性势流方程。
• 分析与微滴形成相关的动作最小化问题中的不稳定性。
• 通过弱极限建立Euler喷射与Wasserstein测地线之间的联系。
• 证明每个Wasserstein测地线均为具有真空的两相流混合物模型中松弛化最小作用量原理的唯一极小化子。

提出的方法

• 在Euler框架下推导出具有特征函数密度约束的流的正式测地线方程。
• 表明该问题对应于自由边界上压强和表面张力为零的不可压缩、无粘性势流的Euler方程。
• 使用可数个椭球测地线的叠加（称为Euler喷射）来近似任意两个等体积形状。
• 将作用量的下确界识别为密度之间Wasserstein距离的平方。
• 利用Euler喷射的弱极限构造可压缩无压强Euler系统的解。
• 为两相流混合物模型提出松弛化最小作用量原理，其极小化子与Wasserstein测地线一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意两个等体积形状是否可由不可压缩测地线的叠加近似连接？
• RQ2 在不可压缩约束下，形状输运的动能作用量的下确界是什么？
• RQ3 Euler喷射在极限下如何与Wasserstein测地线关联？
• RQ4 微滴形成在动作最小化问题的不稳定性中起什么作用？
• RQ5 Wasserstein测地线能否被表征为具有真空的两相流混合物模型中松弛化最小作用量原理的极小化子？

主要发现

• 形状输运作用量的下确界等于初始与最终形状之间Wasserstein距离的平方。
• 该下确界几乎从不被达到，仅在1维配置中例外。
• 任意两个等体积形状均可通过Euler喷射（即可数个椭球测地线的叠加）近似连接。
• 每个Wasserstein测地线均可作为不可压缩Euler喷射的弱极限而构造，从而为可压缩无压强Euler系统提供解。
• 每个Wasserstein测地线均为具有不可压缩流体与真空的两相流混合物模型中松弛化最小作用量原理的唯一极小化子。
• 形式化的测地线方程对应于自由边界上压强和表面张力为零的不可压缩、无粘性势流方程。