[论文解读] Euler sums of generalized hyperharmonic numbers

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Mathematical Identities被引用 4

一句话总结

本文推导了涉及广义超调和数 $ h_n^{(m)}(k) $ 的欧拉和的闭式表达式，将其表示为黎曼zeta函数值与调和数乘积的有理线性组合。对于 $ k = 2,3 $，利用第一类斯特林数和多重zeta值建立了显式公式，扩展了关于经典欧拉和的先前结果。

ABSTRACT

The generalized hyperharmonic numbers $h_n^{(m)}(k)$ are defined by means of the multiple harmonic numbers. We show that the hyperharmonic numbers $h_n^{(m)}(k)$ satisfy certain recurrence relation which allow us to write them in terms of classical harmonic numbers. Moreover, we prove that the Euler-type sums with hyperharmonic numbers: \[S\left( {k,m;p} ight): = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{h_n^{\left( m ight)}\left( k ight)}}{n^p}} \;\;\left(p\geq m+1,\ {k = 1,2,3} ight)\] can be expressed as a rational linear combination of products of Riemann zeta values and harmonic numbers. This is an extension of the results of Dil (2015) \cite{AD2015} and Mez$\ddot{o}$ (2010) \cite{M2010}. Some interesting new consequences and illustrative examples are considered.

研究动机与目标

• 将经典欧拉和的求值方法推广至包含广义超调和数 $ h_n^{(m)}(k) $ 的情形。
• 为无穷级数 $ S(k,m;p) = \sum_{n=1}^\infty \frac{h_n^{(m)}(k)}{n^p} $ 推导闭式表达式，其中 $ p \geq m+1 $ 且 $ k=2,3 $。
• 将这些和表示为黎曼zeta函数值与调和数乘积的有理线性组合。
• 推广Dil（2015）和Mező（2010）关于超调和欧拉和的先前结果。

提出的方法

• 通过带有嵌套不等式的多重调和和定义广义超调和数 $ h_n^{(m)}(k) $。
• 利用递推关系将 $ h_n^{(m)}(k) $ 表示为经典调和数与二项式系数的组合。
• 引入辅助和 $ W_{k,r}(m) $ 以表示涉及调和数和有理函数的结构化欧拉型和。
• 应用生成函数和第一类斯特林数分解高阶和。
• 利用组合恒等式和zeta函数性质，推导 $ S(2,r;p) $ 和 $ S(3,r;p) $ 的显式公式。
• 将结果表示为 $ \zeta(s) $、$ H_n^{(k)} $ 和 $ H_n $ 的形式，其系数包含斯特林数和调和数乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将涉及广义超调和数的欧拉和表示为zeta值与调和数的组合？
• RQ2 当 $ k=2,3 $ 且 $ p \geq m+1 $ 时，$ S(k,m;p) = \sum_{n=1}^\infty \frac{h_n^{(m)}(k)}{n^p} $ 的闭式求值是什么？
• RQ3 第一类斯特林数和多重zeta值如何影响这些和的结构？
• RQ4 是否存在一种系统性方法，将高阶超调和欧拉和约化为已知常数？
• RQ5 将闭式求值推广至 $ k=4 $ 以上时存在哪些限制？

主要发现

• 和 $ S(2,r;p) $ 表示为斯特林数以及 $ W_{3,r-1}(p+1-k) $、$ W_{2,r-1}(p+1-k) $ 和 $ \zeta(p+1-k) $ 的加权和，其系数为调和数。
• 和 $ S(3,r;p) $ 由包含 $ W_{4,r-1}(p+1-k) $、$ W_{3,r-1}(p+1-k) $、$ W_{2,r-1}(p+1-k) $ 和zeta值的公式给出，其系数包含立方调和数项。
• 一个具体例子得出 $ S(2,2;3) = 4\zeta(5) - 2\zeta(2)\zeta(3) + \frac{5}{4}\zeta(4) - 2\zeta(3) + \zeta(2) $，验证了闭式结构的正确性。
• 该方法成功求值了 $ S(k,m;p) $ 在 $ k=2,3 $ 时的情形，显示出对 $ p \geq m+1 $ 和 $ r = m $ 的依赖性，并给出了显式的组合系数。
• 该方法难以推广至 $ k \geq 4 $，因为 $ W_{k,r}(p) $ 无法用已知项表示为闭式。
• 结果扩展了Dil和Mező的先前工作，提供了一套系统框架，利用斯特林数和多重zeta值处理超调和欧拉和。