[论文解读] Euler Systems for $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$

Chi-Yun Hsu, Zhaorong Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 7

一句话总结

本论文在假设 $ p $-正则性的前提下，为 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $-上同调的尖点自守表示所关联的伽罗瓦表示构造了一个欧拉系统。该构造基于诺沃多夫斯基的 $ L $-函数积分公式，并利用局部表示论——特别是 $ \mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_\ell) $ 的重数一结果——在不进行显式双陪集计算的情况下验证了正则范数关系，推广了先前关于 $ \mathrm{GSp}_4 $ 和 $ \mathrm{GL}_2 $ 欧拉系统的技术。

ABSTRACT

For a non-endoscopic cohomological cuspidal automorphic representation of $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$, assumed to be $p$-ordinary, we construct an Euler system for the Galois representation associated to it. Both the construction and the verification of tame norm relations are based on Novodvorsky's integral formula for the $L$-function of $\mathrm{GSp}_4 imes \mathrm{GL}_2$.

研究动机与目标

• 为 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $ 的非内嵌、$ p $-正则、上同调尖点自守表示所关联的伽罗瓦表示构造一个欧拉系统。
• 通过局部表示论技术而非显式双陪集计算，验证欧拉系统所需的正则范数关系。
• 将洛夫勒、斯金纳与泽尔贝斯的方法——基于 $ \mathrm{SO}_4 $-不变泛函的重数一——推广至 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $ 的情形。
• 通过符号映射与埃森斯坦类，建立不同层次下欧拉系统元素的整性与相容性。
• 为在更高秩的 $ \mathrm{GSp}_4 $-相关自守情形下系统性地构造欧拉系统，提出基于上同调下推与 $ L $-函数积分公式的框架。

提出的方法

• 以诺沃多夫斯基关于 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $ 的 $ L $-函数的积分公式作为构造欧拉系统元素的基础输入。
• 在有限与无限层次应用符号映射，通过平展实现代数将模曲线上的上同调类与伽罗瓦上同调联系起来。
• 利用 $ \mathrm{GL}_2 $ 的埃森斯坦类及其在 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $ 晦明弗里德曼-希默拉簇上的下推，生成动机上同调类。
• 通过 $ \mathrm{SO}_4(\mathbb{Q}_\ell) $-不变泛函的重数一定理，将正则范数关系的验证归约为局部问题。
• 使用共轭引理与双陪集分解，计算 $ J_k^i $-集合中代表元的和，关联不同循环类。
• 应用霍奇希德-塞尔谱序列，将动机上同调类上移至伽罗瓦上同调，确保与范数映射的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $ 的 $ p $-正则、上同调、非内嵌尖点自守表示的伽罗瓦表示构造一个欧拉系统？
• RQ2 能否在不进行 $ \mathrm{GSp}_4 $ 显式双陪集计算的情况下，验证欧拉系统所需的正则范数关系？
• RQ3 在 $ \mathrm{GSp}_4 $-表示上，$ \mathrm{SO}_4 $-不变泛函的局部重数一结果在多大程度上可将全局范数相容性问题归约为局部陈述？
• RQ4 在 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $ 情形下，符号映射与埃森斯坦类在提升层次与基变更下的行为如何？
• RQ5 集合 $ J_k^i $ 上循环类之和的精确结构是什么？它们与欧拉系统中范数关系有何关联？

主要发现

• 本文在 $ \mathrm{GSp}_4 \times \mathrm{GL}_2 $-希默拉簇的平展上同调中构造了一个伽罗瓦上同调类，其满足所需的范数关系，从而构成一个欧拉系统。
• 正则范数关系通过局部重数一论证得以验证：在相关 $ \mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_\ell) $-表示上，$ \mathrm{SO}_4(\mathbb{Q}_\ell) $-不变泛函空间的维数至多为一，从而将全局问题简化为局部计算。
• 证明了 $ \sum_{\eta \in J_5^1} \mathfrak{Z}(\eta) = \ell \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\eta^{\ell x,y,0}_{2,0}) + \ell(\ell-1) \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\eta^{\ell x,y,1}_{2,1}) $，这是范数相容性中的关键步骤。
• 证明了 $ \sum_{\eta \in J_5^2} \mathfrak{Z}(\eta) = \ell \cdot \sum_{x=0}^{\ell-1} \sum_{y=0}^{\ell^2-1} \mathfrak{Z}(\iota^{\ell x,y,0}_{2,0}) $，并进一步证明其等于 $ \sum_{\eta \in J_5^3} \mathfrak{Z}(\eta) $，确认了不同循环类型间的一致性。
• 计算得 $ \sum_{\eta \in J_6} \mathfrak{Z}(\eta) = \mathfrak{Z}(\eta^{0,0,0}_{0,0}) + (\ell^2 - 1) \cdot \mathfrak{Z}(\eta^{1,0,0}_{1,0}) + \ell^2(\ell^2 - 1) \cdot \mathfrak{Z}(\eta^{1,0,0}_{2,0}) $，其中各项来源于 $ x,y $ 对 $ \ell $ 的整除性条件。
• 最终结果确认，欧拉系统元素满足所需的范数关系，其关键贡献在于通过表示论的约化避免了繁琐的双陪集计算。