[论文解读] Eulerian idempotent, pre-Lie logarithm and combinatorics of trees

Ruggero Bandiera, Florian Schätz|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文建立了普遍包络代数中的欧拉幂等元与平面二叉根树的预李代数上预李对数之间的联系。通过应用上下文微积分技术计算预李对数，作者在PBW基和Dykin基中导出了欧拉幂等元的显式组合公式，将其表示为由树索引的迭代李括号的线性组合。

ABSTRACT

The aim of this paper is to bring together the three objects in the title. Recall that, given a Lie algebra $\mathfrak{g}$, the Eulerian idempotent is a canonical projection from the enveloping algebra $U(\mathfrak{g})$ to $\mathfrak{g}$. The Baker-Campbell-Hausdorff product and the Magnus expansion can both be expressed in terms of the Eulerian idempotent, which makes it interesting to establish explicit formulas for the latter. We show how to reduce the computation of the Eulerian idempotent to the computation of a logarithm in a certain pre-Lie algebra of planar, binary, rooted trees. The problem of finding formulas for the pre-Lie logarithm, which is interesting in its own right -- being related to operad theory, numerical analysis and renormalization -- is addressed using techniques inspired by umbral calculus. As a consequence of our analysis, we find formulas both for the Eulerian idempotent and the pre-Lie logarithm in terms of the combinatorics of trees.

研究动机与目标

• 为自由李代数的普遍包络代数上的欧拉幂等元提供显式公式。
• 建立欧拉幂等元与平面二叉根树上预李代数结构中预李对数之间的关系。
• 开发一种使用上下文微积分技术计算预李对数的方法。
• 利用树的组合学方法，在PBW基和Dykin基中表达欧拉幂等元。
• 通过基于树的系数，建立Baker-Campbell-Hausdorff乘积和Magnus展开的组合框架。

提出的方法

• 在由平面二叉根树张成的向量空间上定义一个预李代数结构。
• 将预李对数引入为该预李代数中的形式幂级数，类似于结合代数中的经典对数。
• 应用上下文微积分技术，推导出预李对数系数的闭式表达式。
• 通过PBW基中的递推公式，利用预李对数计算欧拉幂等元。
• 建立在镜像对合下的不变性性质，以简化系数计算。
• 通过使用广义Worpitzki恒等式将PBW基中的表达式变换为Dykin基，推导出Dykin基中的欧拉幂等元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用树的组合学表达普遍包络代数上的欧拉幂等元？
• RQ2 在平面二叉根树的背景下，欧拉幂等元与预李对数之间存在何种关系？
• RQ3 上下文微积分技术能否被改编以计算树的预李代数中的预李对数？
• RQ4 在Dykin基展开中，欧拉幂等元的系数背后的组合结构是什么？
• RQ5 如何通过该框架导出的基于树的系数重构Baker-Campbell-Hausdorff乘积？

主要发现

• 自由李代数的普遍包络代数上的欧拉幂等元被表示为由平面二叉根树索引的迭代李括号的线性组合。
• PBW基展开中的系数由一个涉及下降数和二项式系数的公式给出，该公式通过上下文微积分推导得出。
• 通过上下文微积分，显式计算了平面二叉根树代数中的预李对数，得到了闭式表达式。
• 通过使用广义Worpitzki恒等式将PBW表达式变换为Dykin基，得到了Dykin基中欧拉幂等元的简化系数结构。
• 该方法在欧拉幂等元与预李对数之间建立了规范联系，后者作为前者的计算工具。
• 该框架为以基于树的迭代括号形式计算Baker-Campbell-Hausdorff乘积提供了系统方法，其系数具有组合定义。