[论文解读] Eulerian polynomials as moments, via exponential Riordan arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 24

一句话总结

本文证明了下降幂欧拉多项式 $ P_n(x) $ 及其平移版本 $ P_{n+1}(x) $ 是特定正交多项式族的矩序列，方法基于指数黎曼阵列及其乘积矩阵。通过证明乘积矩阵为三对角矩阵，作者建立了正交多项式的三步递推关系，并利用连分数与海格尔变换推导其生成函数。

ABSTRACT

Using the theory of exponential Riordan arrays and orthogonal polynomials, we demonstrate that the "descending power" Eulerian polynomials, and their once shifted sequence, are moment sequences for simple families of orthogonal polynomials, which we characterize in terms of their three-term recurrence. We obtain the generating functions of the polynomial sequences in terms of continued fractions, and we also calculate their Hankel transforms.

研究动机与目标

• 通过指数黎曼阵列理论建立欧拉多项式与正交多项式之间的联系。
• 表征矩序列为欧拉多项式 $ P_n(x) $ 和 $ P_{n+1}(x) $ 的正交多项式。
• 推导这些正交多项式的三步递推关系。
• 利用连分数框架计算多项式序列的生成函数。
• 通过矩序列计算欧拉多项式相关的海格尔变换。

提出的方法

• 利用指数黎曼阵列理论 $[g, f]$，其中 $g$ 和 $f$ 为生成函数。
• 应用准则：当且仅当其乘积矩阵为三对角矩阵时，黎曼阵列的逆为正交多项式的系数阵列。
• 推导乘积矩阵的双变量生成函数为 $ e^{xy}(Z(x) + A(x)y) $，其中 $ A(x) = f'(ar{f}(x)) $ 且 $ Z(x) = g'(ar{f}(x))/g(ar{f}(x)) $。
• 计算 $ f(x) $ 的复合逆 $ ar{f}(x) $，以显式表达 $ A(x) $ 和 $ Z(x) $。
• 利用乘积矩阵的三对角结构推导正交多项式的三步递推关系。
• 将连分数表示应用于矩序列的生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉多项式 $ P_n(x) $ 能否被解释为某类正交多项式族的矩序列？
• RQ2 定义矩序列为 $ P_n(x) $ 的正交多项式的三步递推关系是什么？
• RQ3 在黎曼阵列框架下，如何将 $ P_n(x) $ 的生成函数表示为连分数？
• RQ4 序列 $ P_n(x) $ 的海格尔变换是什么？其如何从乘积矩阵推导得出？
• RQ5 从 $ P_n(x) $ 到 $ P_{n+1}(x) $ 的平移如何影响矩序列及其正交多项式表征？

主要发现

• 欧拉多项式 $ P_n(x) $ 是由递推关系 $ Q_n(t) = (t - ((n-1)x + n))Q_{n-1}(t) - (n-1)^2 x Q_{n-2}(t) $ 定义的正交多项式的矩序列，初始条件为 $ Q_0(t) = 1 $，$ Q_1(t) = t - 1 $。
• 平移序列 $ P_{n+1}(x) $ 同样是相关正交多项式族的矩序列，其特征为类似的三步递推关系。
• 矩序列 $ P_n(x) $ 的生成函数由指数黎曼阵列的乘积矩阵导出的连分数给出。
• 计算了 $ P_n(x) $ 的海格尔变换，并表明其与矩矩阵的行列式结构相关。
• 证明了当 $ g(t) = \frac{(1-x)e^{(1-x)t}}{1 - x e^{(1-x)t}} $ 且 $ f(t) = \frac{e^{(1-x)t} - 1}{1 - x e^{(1-x)t}} $ 时，指数黎曼阵列 $[g,f] $ 的乘积矩阵为三对角矩阵，从而确认了正交多项式结构。
• 三对角乘积矩阵的条件自然导出微分方程 $ dy/dt = (1 + \beta y)(1 + \beta y) $，将其与逻辑斯蒂方程的变体联系起来。