[论文解读] Eulerian polynomials, perfect matchings and Stirling permutations of the second kind

Shi-Mei Ma, Yeong‐Nan Yeh|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文引入了第二类Stirling排列，并建立了Eulerian多项式、完美匹配与环统计之间的组合联系。通过生成函数和递推关系，对按环上升平台、不动点和环数计数的此类排列进行了枚举，揭示了对称性与实根性质，关键结果通过指数生成函数和上下文无关语法将它们与错位排列和$2n$-连通图联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we first present combinatorial proofs of a kind of expansions of the Eulerian polynomials of types A and B, and then we introduce Stirling permutations of the second kind. In particular, we count Stirling permutations of the second kind by their cycle ascent plateaus, fixed points and cycles.

研究动机与目标

• 定义并研究第二类Stirling排列，将其作为经典Stirling排列的推广。
• 通过完美匹配建立A型与B型Eulerian多项式的组合解释。
• 使用生成函数对按环上升平台、不动点和环数计数的Stirling排列进行枚举。
• 推导出相关多项式所满足的递推关系与对称性性质。
• 通过指数生成函数探索Stirling错位排列与$2n$-连通图之间的联系。

提出的方法

• 引入$s$-逆序序列，并利用其将Eulerian多项式$A_n(x)$与$B_n(x)$表示为特定整数序列上的生成函数。
• 通过经典$k$-Stirling排列条件的推广，定义第二类Stirling排列。
• 使用上下文无关语法与指数生成函数，推导出多项式$R_n(x,q)$与$N_n(x)$的递推关系。
• 应用指数公式，推导出Stirling错位排列数的生成函数$\sum_{n\geq 0} q_n \frac{z^n}{n!} = \frac{e^{-z}}{\sqrt{1-2z}}$。
• 建立Stirling错位排列生成函数与错位排列多项式之间的对偶关系，如$S^2(x,z) = d(x,2z)$。
• 利用算子$\frac{\partial}{\partial x}$与组合分解，推导出递推关系$R_{n+1}(x,q) = 2nxR_n(x,q) + 2x(1-x)\frac{\partial}{\partial x}R_n(x,q) + 2nxqR_{n-1}(x,q)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义并按环上升平台、不动点与环数对第二类Stirling排列进行计数？
• RQ2 Stirling排列的生成函数与A型和B型Eulerian多项式之间有何关系？
• RQ3 多项式$R_n(x,q)$与$N_n(x)$如何与完美匹配及错位排列相关联？
• RQ4 哪些递推关系控制着按环结构计数Stirling排列的过程？
• RQ5 所得到的多项式表现出怎样的对称性与根的性质？

主要发现

• 多项式$R_n(x)$（按环上升平台计数Stirling错位排列）满足递推关系$R_{n+1}(x,q) = 2nxR_n(x,q) + 2x(1-x)\frac{\partial}{\partial x}R_n(x,q) + 2nxqR_{n-1}(x,q)$，初始条件为$R_1(x,q)=0$，$R_2(x,q)=2qx$，$R_3(x,q)=4qx(1+x)$。
• 生成函数满足$S^2(x,z) = d(x,2z)$，建立了Stirling错位排列与经典错位排列之间的对偶性。
• 多项式$R_n(x)$具有对称性，且当$n \geq 2$时仅具有单重实根，该结论通过与实根性已知结果的联系得以证明。
• 计算$S(-1,z)$得到$\sqrt{\sec(2i z)}$，将带符号的环上升平台之和与序列$h_n$（其中$h_0=1$，$h_1=2$，$h_2=28$，$h_3=1112$，$h_4=87568$）联系起来，该序列计数满足特定环与超越约束的排列。
• Stirling错位排列数$q_n$满足递推关系$q_{n+1} = 2n(q_n + q_{n-1})$，初始值为$q_0=1$，$q_1=0$，$q_2=2$，其指数生成函数为$\frac{e^{-z}}{\sqrt{1-2z}}$。
• 关系$M_n(x) = x^n N_n(1/x)$将多项式$M_n(x)$（计数完美匹配中奇数较大元素）与$N_n(x)$（计数偶数较大元素）联系起来，揭示了匹配中偶数与奇数环统计之间的对偶性。