[论文解读] Eulerian series, zeta functions and the arithmetic of partitions

Robert Schneider|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2020

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一句话总结

本文通过引入分拆理论中的Zeta函数和q-Bracket算子，建立了整数分拆的乘法性算术，揭示了q级数、模形式与经典数论之间的深刻联系。它利用q级数推导出算术密度的显式公式，证明了拉马努金的模θ函数源自互逆雅可比三重积的q-Bracket，且发现了q-超几何函数在单位根处的类似分圆恒等式。

ABSTRACT

In this Ph.D. dissertation (2018, Emory University) we prove theorems at the intersection of the additive and multiplicative branches of number theory, bringing together ideas from partition theory, $q$-series, algebra, modular forms and analytic number theory. We present a natural multiplicative theory of integer partitions (which are usually considered in terms of addition), and explore new classes of partition-theoretic zeta functions and Dirichlet series -- as well as "Eulerian" $q$-hypergeometric series -- enjoying many interesting relations. We find a number of theorems of classical number theory and analysis arise as particular cases of extremely general combinatorial structure laws. Among our applications, we prove explicit formulas for the coefficients of the $q$-bracket of Bloch-Okounkov, a partition-theoretic operator from statistical physics related to quasi-modular forms; we prove partition formulas for arithmetic densities of certain subsets of the integers, giving $q$-series formulas to evaluate the Riemann zeta function; we study $q$-hypergeometric series related to quantum modular forms and the "strange" function of Kontsevich; and we show how Ramanujan's odd-order mock theta functions (and, more generally, the universal mock theta function $g_3$ of Gordon-McIntosh) arise from the reciprocal of the Jacobi triple product via the $q$-bracket operator, connecting also to unimodal sequences in combinatorics and quantum modular-like phenomena.

研究动机与目标

• 发展整数分拆的乘法性算术，传统上通过加法组合学研究。
• 引入分拆理论Zeta函数和狄利克雷级数，推广经典Zeta函数。
• 通过分拆理论构造，将q-Bracket算子与拟模形式及模θ函数联系起来。
• 推导整数子集算术密度的q级数公式，包括黎曼Zeta函数的取值。
• 研究量子模形式类现象及q-超几何函数在单位根处的分圆恒等式。

提出的方法

• 利用q-Bracket算子将分拆生成函数映射到模形式类对象。
• 在分拆理论算术背景下，应用莫比乌斯反演推导组合恒等式。
• 运用q-二项式定理和生成函数技术分析分拆密度。
• 分析q-超几何级数在单位根处的特殊取值，特别是与康采维奇的奇异函数相关的f(q)函数。
• 利用Eichler积分理论和分圆多项式性质，研究单位根处的代数结构。
• 将雅可比三重积的逆作为基础对象，经q-Bracket变换后生成模θ函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用q级数和Zeta函数发展整数分拆的乘法性算术？
• RQ2 q-Bracket算子在从分拆生成函数生成模形式与模形式类形式中扮演何种角色？
• RQ3 整数子集的算术密度能否用q级数表示，这些表示是否能给出黎曼Zeta函数的取值？
• RQ4 q-超几何函数（如f(q)）在单位根处会涌现出何种分圆或代数恒等式？
• RQ5 拉马努金的奇数阶模θ函数如何通过q-Bracket从雅可比三重积的逆中产生？

主要发现

• 雅可比三重积的逆的q-Bracket生成了拉马努金的通用模θ函数$ g_3 $，将分拆理论与模θ形式联系起来。
• 推导出某些整数子集算术密度的显式q级数公式，包括黎曼Zeta函数在正整数处的取值。
• 在五次单位根处，值$ \widetilde{f}(\zeta_5^i) $满足对称与乘法恒等式，例如$ \widetilde{f}(\zeta_5)\widetilde{f}(\zeta_5^2)\widetilde{f}(\zeta_5^3)\widetilde{f}(\zeta_5^4) = 1 $，暗示更深层的分圆结构。
• 对于$ i \neq j $的配对$ \widetilde{f}(\zeta_5^i)\widetilde{f}(\zeta_5^j) $，其值等于单位根，例如$ \widetilde{f}(\zeta_5)\widetilde{f}(\zeta_5^3) = \zeta_5 $，表明存在隐藏的代数对称性。
• 与康采维奇奇异函数相关的函数$ f(q) $满足$ \zeta_5^i f(\zeta_5^i) = \zeta_5^{-i} f(\zeta_5^{-i}) $，即在五次单位根处具有对称函数方程。
• 数值证据表明，对满足$ \gcd(p,i)=1 $的$ \widetilde{f}(\zeta_p^i) $，其初等对称和在模$ p $下为整数，且这些值在模$ p $下呈循环性，尽管该结论尚未被证明。