[论文解读] Eulerian time-stepping schemes for the non-stationary Stokes equations on time-dependent domains

Erik Burman, Stefan Frei+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对时变域上非稳态Stokes方程的新型Eulerian时间推进格式，采用几何非拟合有限元法，结合Nitsche方法处理边界条件，并通过ghost惩罚稳定化方法隐式延拓前一时间步的解值。主要贡献在于完成了完整的先验误差分析，证明了速度误差在最优 $L^2(L^2)$-范数下的误差界，数值结果予以验证。

ABSTRACT

This article is concerned with the discretisation of the Stokes equations on time-dependent domains in an Eulerian coordinate framework. Our work can be seen as an extension of a recent paper by Lehrenfeld & Olshanskii [ESAIM: M2AN, 53(2):585-614, 2019], where BDF-type time-stepping schemes are studied for a parabolic equation on moving domains. For space discretisation, a geometrically unfitted finite element discretisation is applied in combination with Nitsche's method to impose boundary conditions. Physically undefined values of the solution at previous time-steps are extended implicitly by means of so-called ghost penalty stabilisations. We derive a complete a priori error analysis of the discretisation error in space and time, including optimal $L^2(L^2)$-norm error bounds for the velocities. Finally, the theoretical results are substantiated with numerical examples.

研究动机与目标

• 为随时间变化的计算域上非稳态Stokes方程开发一种稳定且精确的时间推进格式。
• 解决从一个时变域向下一个时变域转移解数据的挑战，即 $ t_{n-1} $ 时刻的解定义在 $ \Omega(t_{n-1}) $ 上，但需在 $ \Omega(t_n) $ 上使用。
• 对空间-时间离散化提供完整的先验误差分析，包括速度误差在 $ L^2(L^2) $-范数下的最优收敛速率。
• 通过引入ghost惩罚稳定化，将非拟合有限元方法的适用性扩展至时变问题，实现跨时间步的隐式解值延拓。

提出的方法

• 采用几何非拟合有限元法，背景网格与域边界无关，可在无需重剖分的情况下处理任意域运动。
• 使用Nitsche方法弱式强制边界条件，确保在不依赖体拟合网格的情况下保持稳定性和一致性。
• 应用ghost惩罚稳定化，将前一时间步的解 $ \bm{u}_h(t_{n-1}) $ 隐式延拓至当前域 $ \Omega(t_n) $，避免显式投影或插值。
• 采用后向差分公式（BDF）型时间离散化，时间导数在当前域上的变分形式中进行近似。
• 通过变换 $ \bm{T}(t) $ 在参考配置中进行分析，使得可在固定域 $ \hat{\Omega} $ 上使用标准有限元工具，随后通过拉回映射至物理域。
• 利用能量法结合Gronwall不等式，推导先验误差估计，以控制速度误差的 $ L^2(L^2) $-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无需域重剖分或ALE映射的情况下，为时变域上的非稳态Stokes方程开发一种稳定且收敛的时间推进格式？
• RQ2 如何以稳定且一致的方式将前一时间步中在物理域外的解值扩展至当前域？
• RQ3 在时变域上进行空间-时间离散化时，速度误差在 $ L^2(L^2) $-范数下的最优收敛速率是多少？
• RQ4 ghost惩罚稳定化能否有效替代移动域问题时间推进格式中的显式投影或插值？

主要发现

• 所提格式在速度误差上实现了最优的 $ L^2(L^2) $-范数误差界，证实了在空间和时间方向上的最优收敛性。
• 先验误差分析在域运动的标准假设与有限元正则性条件下，建立了该格式的稳定性和收敛性。
• ghost惩罚稳定化实现了过去解值向当前域的隐式延拓，避免了显式投影，同时保持了精度。
• 该方法在大变形和拓扑变化下具有鲁棒性，因其不依赖于连续的网格映射。
• 数值算例验证了理论误差界，并展示了该方法在移动域上的鲁棒性与高效性。