[论文解读] Euphotic representations and rigid automorphic data

Konstantin Jakob, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文引入了euphotic表示——函数域上半单代数群的epipelagic表示的推广——通过抛物子群、半单泛函和特征，利用Hessenberg簇的几何结构，构建了刚性$G$-自守表示及其对应的刚性$˂{G}$-局部系统，将几何Langlands方法拓展至先前方法无法覆盖的范围。

ABSTRACT

We propose a new method to construct rigid $G$-automorphic representations and rigid $\widehat{G}$-local systems for reductive groups $G$. The construction involves the notion of euphotic representations, and the proof for rigidity involves the geometry of certain Hessenberg varieties.

研究动机与目标

• 通过euphotic数据将epipelagic表示推广至更广泛的超cuspidal表示类。
• 为半单代数群$G$开发一种新方法，以构建刚性$G$-自守表示与刚性$˂{G}$-局部系统。
• 通过利用Hessenberg簇，将几何Langlands程序扩展，以证明所构造局部系统的刚性。
• 为例外群（如$G_2$）提供一种系统性构造方法，而此前的算法在此类群上失效。
• 通过自守数据与Hecke特征层，统一几何与算术方法，以构造刚性局部系统。

提出的方法

• 通过三元组$(\mathbf{P}_\infty, \psi, \chi)$定义euphotic表示，其中$\mathbf{P}_\infty$为抛物子群，$\psi$为在分次李代数上的半单泛函，$\chi$为稳定化子中环面的特征。
• 利用Moy-Prasad滤子定义相应的分次空间$V_{\mathbf{P}} = \mathbf{P}^+_{\infty}/\mathbf{P}^{++}_{\infty}$，其上$\psi$作用。
• 将表示$\pi$构造为$G(F_\infty)$的不可约表示，其包含一个在$B_\psi(k)\mathbf{P}^+_{\infty}$下固定的向量，具有指定的特征标$\chi$，且在$\psi_k \circ \psi$下等变。
• 利用几何Langlands对应，将自守表示转化为$G$-主丛模堆上的Hecke特征层。
• 利用Hessenberg簇的几何结构分析稳定化子，并证明所得到局部系统的刚性。
• 应用可分解模范畴与层范畴上的$E_2$-作用，以确立构造的相容性与函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用比epipelagic表示更广泛的超cuspidal表示类来构造刚性自守形式？
• RQ2 Hessenberg簇的几何结构如何控制由自守数据产生的$\u02C2{G}$-局部系统的刚性？
• RQ3 三元组$(\mathbf{P}_\infty, \psi, \chi)$需满足何种条件，才能保证其关联的自守表示是刚性的？
• RQ4 该方法能否为例外群（如$G_2$）产生新的刚性局部系统示例？
• RQ5 层范畴上的$E_2$-作用如何与Hecke特征层性质及Langlands对应关联？

主要发现

• 本文在$\mathbb{P}^1$上构造了在0处深度为零、在$\infty$处深度为$1/m$的刚性$G$-自守表示。
• 关联的$\u02C2{G}$-局部系统在0处为 tame ramified，在$\infty$处为 wild ramified，且通过Hessenberg簇几何证明其为刚性。
• 通过放宽$\psi$的稳定化子条件，使泛函为半单但不一定是稳定泛函，该构造推广了epipelagic表示。
• 对于$G_2$，该方法给出了刚性局部系统的显式示例，扩展了[DR10]与[Yun16]的结果。
• 刚性证明依赖于对Hessenberg簇中稳定化子的分析，并表明$\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{Z}}}$在层上的作用通过$\mathcal{O}_{\mathcal{Z}}$因子化，从而推出某些映射的平凡性。
• 证明了层范畴上的$E_2$-作用可从Langlands对偶的表示范畴上拉回，从而确认其与几何Langlands对应的相容性。