[论文解读] Evaluating the accuracy of the dynamic mode decomposition

Hao Zhang, Scott T. M. Dawson+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出了一种逐模态的动态模态分解（DMD）精度准则，可在无需事先了解真实系统动力学的情况下，估计每个DMD特征函数与对应Koopman特征函数的逼近程度。该方法在合成数据和实验流体动力学数据上得到验证，能够可靠地选择具有物理意义的DMD模态，且在噪声环境下优于基于幅值的标准选择方法。

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) gives a practical means of extracting dynamic information from data, in the form of spatial modes and their associated frequencies and growth/decay rates. DMD can be considered as a numerical approximation to the Koopman operator, an infinite-dimensional linear operator defined for (nonlinear) dynamical systems. This work proposes a new criterion to estimate the accuracy of DMD on a mode-by-mode basis, by estimating how closely each individual DMD eigenfunction approximates the corresponding Koopman eigenfunction. This approach does not require any prior knowledge of the system dynamics or the true Koopman spectral decomposition. The method may be applied to extensions of DMD (i.e., extended/kernel DMD), which are applicable to a wider range of problems. The accuracy criterion is first validated against the true error with a synthetic system for which the true Koopman spectral decomposition is known. We next demonstrate how this proposed accuracy criterion can be used to assess the performance of various choices of kernel when using the kernel method for extended DMD. Finally, we show that our proposed method successfully identifies modes of high accuracy when applying DMD to data from experiments in fluids, in particular particle image velocimetry of a cylinder wake and a canonical separated boundary layer.

研究动机与目标

• 为解决缺乏一种可靠、数据驱动的方法来评估单个DMD模态的准确性，而无需事先知晓真实的Koopman谱分解。
• 开发一种准则，用于评估DMD近似Koopman特征函数与其真实对应物之间的保真度，从而实现基于准确性的模态选择，而非基于能量或幅值。
• 在具有已知Koopman谱的合成系统上验证该精度准则，并展示其在从噪声实验数据中选择准确模态方面的实用性。
• 利用所提出的精度度量，评估并比较不同核函数在核DMD（KDMD）中的性能，尤其在噪声条件下的表现。
• 为现实世界应用（特别是流体动力学领域）提供一种实用且通用的工具，用于识别动态重要且准确的DMD模态。

提出的方法

• 该方法通过测量每个DMD模态的特征函数与真实Koopman特征函数的逼近程度，利用基于数据残差的误差度量来估计其准确性。
• 该方法基于Koopman算子框架，将DMD视为对非线性系统中无限维线性算子的数值逼近。
• 精度准则使用未参与DMD计算的数据快照子集进行计算，确保对模态保真度的无偏评估。
• 该方法通过将相同的误差度量应用于通过核函数从非线性可观测量中提取的DMD模态，扩展至核DMD（KDMD）。
• 该方法应用于具有已知Koopman谱的合成系统以及实验流体动力学数据（包括圆柱尾迹的粒子图像测速和分离边界层数据）。
• 该准则与标准度量（如模态幅值和能量）进行对比，证明其在识别噪声数据中具有物理相关性的模态方面更具优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不事先知晓真实Koopman谱分解的情况下，评估单个DMD模态的准确性？
• RQ2 所提出的精度准则是否能可靠地识别流体动力学实验数据中噪声环境下的物理有意义DMD模态？
• RQ3 在精度和抗噪性方面，不同核函数在核DMD中的表现如何比较？
• RQ4 该精度准则是否优于传统选择方法（如能量含量或模态幅值），以识别相关动态特征？
• RQ5 该准则是否可推广至其他DMD变体（包括扩展DMD和基于核的DMD），以提升Koopman模态的逼近效果？

主要发现

• 所提出的精度准则成功地在圆柱尾迹实验中识别出剪切层频率（106 Hz）为高精度DMD模态，与先前文献结果一致。
• 在圆柱尾迹数据中，与剪切层频率相关的DMD模态不仅表现出较低的误差（小模态误差），还具有较高的幅值，证实了其物理相关性。
• 对于同一组数据，采用五次多项式核的核DMD（KDMD）在精度与抗噪性之间达到了最佳平衡，优于指数核、高斯核和拉普拉斯核。
• 即使模态幅值较低，该精度准则仍能正确识别出最准确的DMD模态，证明其优于基于幅值的选择准则。
• 该方法在具有已知Koopman特征对的合成系统上得到验证，显示所提准则与DMD近似真实误差之间存在强相关性。
• 该准则支持对DMD结果进行事后评估，使研究人员能够过滤掉数值伪影，仅保留最准确且具有动态意义的模态。