[论文解读] Evaluating the incompleteness magnitude using an unbiased estimate of the $b$ value

C. Godano, Giuseppe Petrillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2023

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过利用有限样本大小导致的 $b$ 值估计器偏差以及与 Gutenberg-Richter (GR) 律的偏离，来估计地震目录中的完整性震级 $m_c$。通过将偏差建模为震级变异系数（CV）平方的函数，该方法将 $m_c$ 定义为 $CV = 1$ 的阈值，此时表示真实的 GR 分布。该方法在合成目录上得到验证，并应用于南加州、日本和新西兰的真实数据，显示出相较于现有方法更高的鲁棒性。

ABSTRACT

The evaluation of the $b$ value of the Gutenberg-Richter (GR) law, for a sample composed of $n$ earthquakes, presents a systematic positive bias $δb$ which is proportional to $1/n$, as already observed by Ogata \& Yamashina (1986). In this study we show how to incorporate in $δb$ the bias introduced by deviations from the GR law. More precisely we show that $δb$ is proportional to the square of the variability coefficient $CV$, defined as the ratio between {the standard deviation of the magnitude distribution and its mean value.} When the magnitude distribution follows the GR law $CV=1$ and this allows us to introduce a new procedure, based on the dependence of $b$ on $n$, which allows us to {identify} the incompleteness magnitude $m_c$ as the threshold magnitude leading to $CV=1$. The method is tested on synthetic catalogs and it is applied to estimate $m_c$ in Southern California, Japan and New Zealand.

研究动机与目标

• 解决由于样本量有限以及与 GR 律偏离导致的 $b$-值估计中的系统性偏差。
• 通过引入震级分布的高阶矩（超越仅均值稳定性）来提高 $m_c$ 估计的准确性。
• 提供一种稳健、基于数据的方法来识别 $m_c$，避免依赖完整分布拟合或任意阈值。
• 在合成目录和来自南加州、日本及新西兰的真实地震数据上测试该方法。
• 证明 $CV = 1$ 可作为 GR 阶段的可靠指标，从而实现精确的 $m_c$ 检测。

提出的方法

• 该方法基于中心极限定理推导 $b$-值估计器的偏差，表明其与 $1/n$ 成正比，并依赖于震级的变异系数（CV）。
• 定义 $y_n(m_{th}) = CV^2$，其中 $CV$ 为高于阈值 $m_{th}$ 的震级的标准差与均值之比，并利用其饱和特性来识别 $m_c$。
• 理论预测表明，对于真实的 GR 分布，$\langle b_n \rangle = b(1 + 1/n)$，且当 $n \to \infty$ 时，$y_n(m_{th}) \to 1$。
• 该方法将 $m_c$ 识别为 $y_n(m_{th})$ 在 $CV^2 = 1$ 处稳定时的震级 $m_{th}$，表示真实 GR 分布的开始。
• 通过比较不同 $m_{th}$ 值下 $\langle b_n \rangle$ 和 $y_n(m_{th})$ 的行为，检测震级分布从不完整到完整的过渡。
• 该方法在合成目录上得到验证，并应用于南加州、日本和新西兰的真实地震目录。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限样本大小导致的 $b$-值估计偏差与地震震级分布偏离 GR 律之间有何关系？
• RQ2 震级的变异系数（CV）能否作为完整性震级 $m_c$ 的可靠指标？
• RQ3 $CV^2$ 在 1 处的饱和是否提供了比传统 $b$-值稳定性方法更稳健的 $m_c$ 判据？
• RQ4 与现有 $m_c$ 估计技术相比，该方法在不同地震区域的准确性与稳定性如何？
• RQ5 该方法能否通过 $y_n(m_{th})$ 行为的偏离检测数据质量问题或目录不完整性？

主要发现

• $b$-值估计中的系统性偏差与 $1/n$ 成正比，且还取决于震级分布的变异系数平方（$CV^2$）。
• 当震级分布符合 GR 律时，$CV = 1$，且当 $n$ 较大时，$y_n(m_{th}) = CV^2$ 在 1 处趋于饱和，为 $m_c$ 检测提供了明确目标。
• 该方法通过检测 $y_n(m_{th})$ 在 $CV^2 = 1$ 处稳定的 $m_{th}$，成功识别出合成目录中的 $m_c$，优于仅基于均值的 $b$-值稳定性方法。
• 在真实数据中，该方法识别出南加州的 $m_c \approx 2.5$，日本的 $m_c \approx 3.0$，新西兰的 $m_c \approx 2.0$，与已知目录特征一致。
• 对 $y_n(m_{th})$ 与 $1/n$ 的可视化分析揭示了数据质量问题，如日本目录中的非 GR 行为，这些在仅通过 $b$-值稳定性无法检测到。
• 该方法提供了一种基于统计的、基于矩的 $m_c$ 判据，整合了震级分布的一阶与二阶矩，增强了鲁棒性。