[论文解读] Evaluation of composition function along with invariant vector fields on Lie group using structural constants of corresponding Lie algebra

А. А. Магазев, V. V. Mikheyev+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一种方法，利用李代数的结构常数来构造李群上的复合函数、左-右不变向量场以及微分1-形式。通过采用第二组典范坐标，该方法将问题简化为矩阵求逆与矩阵指数运算，使得复合函数可表示为初等积分形式，且在典范坐标系之间的转换可通过初等积分计算。

ABSTRACT

Methods of construction of the composition function, left- and right-invariant vector fields and differential 1-forms of a Lie group from the structure constants of the associated Lie algebra are proposed. It is shown that in the second canonical coordinates these problems are reduced to the matrix inversions and matrix exponentiations, and the composition function can be represented in quadratures. Moreover, it is proven that the transition function from the first canonical coordinates to the second canonical coordinates can be found by quadratures.

研究动机与目标

• 开发系统化方法，以构造李群上的复合函数、左-右不变向量场及微分1-形式。
• 利用关联李代数的结构常数作为这些构造的基本输入。
• 通过将这些几何对象的计算转化为第二组典范坐标下的矩阵运算，简化其计算。
• 建立第一组与第二组典范坐标之间转换关系可通过初等积分计算的结论。
• 基于代数数据（结构常数）而非坐标图册，提供一种构造性的李群分析框架。

提出的方法

• 利用李代数的结构常数定义左-不变向量场的李括号关系。
• 引入第二组典范坐标，以线性化群乘法问题，并将其简化为矩阵运算。
• 应用矩阵求逆计算第二组典范坐标系中元素的逆。
• 利用矩阵指数运算，从结构常数重构复合函数。
• 以初等积分形式表达复合函数，从而实现群运算的解析积分。
• 基于结构常数，通过积分（初等积分）推导第一组到第二组典范坐标之间的转换函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何能从李代数的结构常数系统地推导出李群的复合函数？
• RQ2 第二组典范坐标在简化不变向量场与微分形式计算中起到何种作用？
• RQ3 第一组与第二组典范坐标之间的转换是否能通过积分以封闭形式表达？
• RQ4 矩阵运算（求逆与指数）在多大程度上可替代李群理论中的坐标基构造？
• RQ5 当仅从结构常数推导时，不变几何对象的解析可处理性如何？

主要发现

• 李群的复合函数可利用结构常数与第二组典范坐标下的矩阵指数运算表示为初等积分形式。
• 左-右不变向量场与微分1-形式可直接通过矩阵运算从结构常数构造。
• 从第一组到第二组典范坐标系的转换函数可通过初等积分计算，确立了两组坐标系之间的封闭关系。
• 第二组典范坐标的使用将非线性的群乘法问题转化为一系列线性代数运算，显著简化了计算。
• 矩阵求逆与矩阵指数运算是从代数数据重构群结构的核心计算引擎。
• 整个框架具有一致性与构造性，使得仅基于代数输入（结构常数）即可实现对李群上几何对象的解析处理。