[论文解读] Evaluation of DNF Formulas

Sarah R. Allen, Lisa Hellerstein+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Machine Learning and Algorithms参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究在任意代价和乘积分布下，单调 DNF 公式的随机布尔函数评估（SBFE）问题。提出具有有界性能保证的近似算法——对单调 $k$-DNF 的近似因子为 $rac{4}{ ho^k}$，对单调 $k$-项 DNF 的近似因子为 $\ olimits\max\{2k, \frac{2}{\rho}(1+\ln k)\}$，同时证明近似因子至少为 $ olimits\Omega((\log kd)^ olimits\epsilon)$（其中 $0 < \epsilon < 1$），表明先前边界的近似最优性。

ABSTRACT

Stochastic Boolean Function Evaluation (SBFE) is the problem of determining the value of a given Boolean function $f$ on an unknown input $x$, when each bit of $x_i$ of $x$ can only be determined by paying a given associated cost $c_i$. Further, $x$ is drawn from a given product distribution: for each $x_i$, $Prob[x_i=1] = p_i$, and the bits are independent. The goal is to minimize the expected cost of evaluation. Stochastic Boolean Function Evaluation (SBFE) is the problem of determining the value of a given Boolean function $f$ on an unknown input $x$, when each bit of $x_i$ of $x$ can only be determined by paying a given associated cost $c_i$. Further, $x$ is drawn from a given product distribution: for each $x_i$, $Prob[x_i=1] = p_i$, and the bits are independent. The goal is to minimize the expected cost of evaluation. In this paper, we study the complexity of the SBFE problem for classes of DNF formulas. We consider both exact and approximate versions of the problem for subclasses of DNF, for arbitrary costs and product distributions, and for unit costs and/or the uniform distribution.

研究动机与目标

• 分析在任意代价和乘积分布下，DNF 公式子类的随机布尔函数评估（SBFE）问题的复杂性。
• 为单调 $k$-DNF 和 $k$-项 DNF 公式开发具有可证明性能保证的近似算法。
• 建立可实现近似因子的紧下界，表明现有 $O(\log kd)$ 边界在预期证书代价方面近乎最优。
• 研究平均情况决策树深度与平均证书大小之间的关系，证明在某些情况下存在指数级差距。

提出的方法

• 将 $k$-DNF 的 SBFE 问题归约为 NP-难问题，即使在 $k=2$ 时也成立，从而确立该类问题的计算不可解性。
• 为单调 $k$-DNF 提出一种近似算法，其性能保证为 $\frac{4}{\rho^k}$，其中 $\rho$ 是 $p_i$ 或 $1-p_i$ 的最小值。
• 提出一种改进的轮转策略以处理非单位代价，在单位代价和均匀分布下保持 $O(\log kd)$ 的近似边界。
• 将 Kaplan 等人的算法扩展至处理非单位代价和非均匀分布，实现 $O(\frac{1}{\rho}\log kd)$ 的近似因子。
• 通过分析具有 $n^\beta$ 项的随机 DNF 公式，推导出 $E_{f}[OPT]/E_{f}[CERT]$ 比值的下界。
• 通过证明对任意 $\epsilon \in (0,1)$，下界为 $\Omega((\log kd)^\epsilon)$，表明 $O(\log kd)$ 的近似因子在子多项式因子范围内最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意代价和乘积分布下，评估单调 $k$-DNF 公式的近似比是多少？
• RQ2 单调 CDNF 公式的 $O(\log kd)$ 近似边界是否可改进，或是否已近乎最优？
• RQ3 DNF 公式在最优 SBFE 策略下的期望代价与期望证书代价相比如何？
• RQ4 布尔函数是否存在平均决策树深度与平均证书大小之间的超常数差距？
• RQ5 当移除 CDNF 公式中单调性假设时，$O(\log kd)$ 的近似边界是否仍可保持？

主要发现

• 即使在 $k=2$ 时，$k$-DNF 的 SBFE 问题也是 NP-难的，确立了该类问题的计算困难性。
• 为单调 $k$-DNF 的近似算法实现了相对于最优代价的 $\frac{4}{\rho^k}$ 近似因子，其中 $\rho = \min_i \min(p_i, 1-p_i)$。
• 对于单调 $k$-项 DNF，该算法实现了 $\max\{2k, \frac{2}{\rho}(1+\ln k)\}$ 的近似因子。
• 当 $k$ 为常数时，单调 $k$-项 DNF 的 SBFE 问题可在多项式时间内精确求解。
• 单调 CDNF 的 $O(\log kd)$ 近似因子近乎最优，因为其下界为 $\Omega((\log kd)^\epsilon)$（对任意 $\epsilon \in (0,1)$）。
• 存在布尔函数使得比值 $E_{f}[OPT]/E_{f}[CERT]$ 为 $\Omega(n^\epsilon)$（对任意 $\epsilon \in (0,1)$），表明平均情况深度可能比平均证书大小指数级更大。