[论文解读] Evaluation of one-dimensional polylogarithmic integral, with applications to infinite series

Kam Cheong Au|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Advanced Mathematical Identities被引用 10

一句话总结

本文提出了一种系统方法，用于评估涉及多 polylogarithms 和广义多 polylogarithms 的一维积分，采用迭代积分和正则化技术。该方法推导出大量 Apéry 型无穷级数和定积分的闭式表达，结果以彩色多重 zeta 值（CMZVs）、多重 zeta 值以及 Catalan 常数、Dirichlet beta 函数等特殊常数表示。

ABSTRACT

We give systematic method to evaluate a large class of one-dimensional integral relating to multiple zeta values (MZV) and colored MZV. We also apply the technique of iterated integrals and regularization to elucidate the nature of some infinite series involving binomial coefficients. This technique can be applied to many Ap\\'ery-type infinite sums.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于评估涉及普通和广义 polylogarithms 的一维积分。
• 系统评估含二项式系数和反中心二项式系数的无穷级数，特别是 Apéry 型求和。
• 以彩色多重 zeta 值（CMZVs）表示结果，尤其关注级别 2 和 4 的情况，并阐明其代数结构。
• 提供对先前猜想或难以处理的无穷级数的显式求值，包括涉及 $\operatorname{Li}_n(1/2)$、$\operatorname{Li}_n((1+i)/2)$ 和 $\beta(4)$ 的级数。
• 建立一个框架，通过迭代积分和正则化技术，将复杂的多 polylogarithmic 积分和级数约化为代数结构化的常数。

提出的方法

• 利用复平面上路径上的迭代积分，通过微分形式的拉回定义，表示涉及 polylogarithms 的被积函数。
• 应用正则化技术处理广义多 polylogarithmic 函数求值过程中出现的发散或奇异积分。
• 采用 Hoffman-Racinet 代数框架，对迭代积分进行操作和约化，转化为标准 MZV 和 CMZV 基的组合。
• 利用 $S_3 \times S_4$ 对称群作用于 4-可适有理函数，生成等价的积分表示并简化求值。
• 应用傅里叶-勒让德展开和函数方程，将积分与 $\operatorname{Li}_n(z)$ 和 $\zeta(s)$ 的已知特殊值关联。
• 利用一个自定义的 Mathematica 软件包（可在 ResearchGate 上获取）计算并验证涉及 $\operatorname{Li}_n(x)$ 的显式积分，尤其针对 $n \leq 8$ 的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用迭代积分和正则化技术系统评估涉及 polylogarithms 的一维积分？
• RQ2 涉及 $\binom{2n}{n}^{-1}$、$\binom{3n}{n}^{-1}$ 和调和和的无穷级数的代数结构是什么？如何将其约化为已知常数？
• RQ3 哪些组合形式的 $\operatorname{Li}_n(1/2)$、$\operatorname{Li}_n((1+i)/2)$、$\beta(4)$ 和 $\zeta(3)$ 出现在 Apéry 型级数的闭式表达中？
• RQ4 级别 2 和级别 4 的彩色多重 zeta 值（$\textsf{CMZV}^2_n$、$\textsf{CMZV}^4_n$）如何自然地出现在这些积分和级数的求值过程中？
• RQ5 能否通过代数和分析技术，将涉及 $\operatorname{Li}_2(-4x/(1-x)^2)$ 和 $\log^k(1+x)$ 的积分求值约化为已知的特殊常数？

主要发现

• 级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{H_{n-1}^{(2)}}{n^3} \left[2^n \binom{2n}{n}^{-1}\right]$ 的求值结果为 $\frac{\pi^3 C}{24} - \pi \beta(4) - \frac{3\pi^2 \zeta(3)}{128} + \frac{527 \zeta(5)}{256} + \frac{1}{384} \pi^4 \log 2$，其中 $C$ 为 Catalan 常数。
• 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5 2^n \binom{3n}{n}}$ 的闭式表达为 $4\pi \Im\left(\operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) + 3\pi \beta(4) - \frac{51}{2} \operatorname{Li}_5\left(\frac{1}{2}\right) - 15 \operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right) \log 2 + \frac{\pi^2 \zeta(3)}{4} + \frac{9\zeta(5)}{2} - 3\zeta(3) \log^2 2 - \frac{97}{240} \log^5 2 + \frac{41}{144} \pi^2 \log^3 2 - \frac{61}{960} \pi^4 \log 2$，证实了 Borwein 的一个猜想。
• 积分 $\int_0^1 \frac{\operatorname{Li}_2(-4x/(1-x)^2) \operatorname{Li}_3(1-x^2)}{x} dx$ 的求值结果为 $\operatorname{Li}_4(1/2)$、$\zeta(3)^2$、$\zeta(5)\log 2$、$\pi^6$、$\log^4 2$ 和 $\pi^4 \log^2 2$ 的组合。
• 积分 $\int_0^1 \frac{\log^2(1-x) \log^2 x \log^3(1+x)}{x} dx$ 的结果是一个高度复杂的表达式，包含 $\operatorname{Li}_5(1/2)^2$、$\operatorname{Li}_6(1/2)$、$\zeta(3)^2$、$\pi^8$ 以及各种对数幂次项，且未缺失级别 2 重量 8 的 CMZV 项。
• 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^{\pm 1}$ 属于 $\textsf{CMZV}^2_S$，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^{-2}$ 属于 $\textsf{CMZV}^4_S$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{s_1,\dots,s_k}}{n^s} a_n^2$ 属于 $\frac{1}{\pi} \textsf{CMZV}^4_{S+1}$，其中 $a_n = 4^{-n} \binom{2n}{n}$。
• 完成了对级别 4 重量 5 CMZVs 的完整约化，并提供了一个 Mathematica 软件包，用于此类积分和级数的符号求值。