[论文解读] Evaluation of some second moment and other integrals for the Riemann, Hurwitz, and Lerch zeta functions

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文利用复分析和积分变换，推导出黎曼、Hurwitz 和 Lerch zeta 函数的二阶矩的新积分表达式。一个关键结果是积分 ∫|ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt = 2π(ln(2π)−γ)，其中 γ 为欧拉-马歇罗尼常数，该结果拓展了已知结果，并为带有对数权重的分数部分积分提供了渐近形式。

ABSTRACT

Several second moment and other integral evaluations for the Riemann zeta function $ζ(s)$, Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$, and Lerch zeta function $Φ(z,s,a)$ are presented. Additional corollaries that are obtained include previously known special cases for the Riemann zeta function $ζ(s)=ζ(s,1)=Φ(1,s,1)$. An example special case is: $$\int_R {{|ζ(1/2+it)|^2} \over {t^2+1/4}}dt=2π[\ln(2π)-γ],$$ with $γ$ the Euler constant. The asymptotic forms of certain fractional part integrals, with and without logarithmic factors in the integrand, are presented. Extensions and other approaches are mentioned.

研究动机与目标

• 推导黎曼、Hurwitz 和 Lerch zeta 函数二阶矩的新积分表达式。
• 拓展黎曼 zeta 函数的已知结果，特别是涉及临界线 ℜ(s) = 1/2 的结果。
• 为带有对数因子和不带对数因子的分数部分积分提供渐近形式。
• 将结果推广至 Dirichlet L-函数，并探讨其与 digamma 函数和 psi 函数等特殊函数的联系。
• 建立关于交错 Hurwitz zeta 函数与 Lerch 超几何函数的新恒等式。

提出的方法

• 使用复分析和积分变换，对复平面上垂直线上的 ζ(s,a)、ζ(s) 和 Φ(z,s,a) 的二阶矩积分进行求值。
• 应用 Lerch zeta 函数 Φ(z,s,a) 的函数方程和解析延拓，推导积分恒等式。
• 利用 Pochhammer 符号 (a)ₘ 及 Hurwitz zeta 函数的性质，将结果表示为 zeta 函数和多 polygamma 函数的形式。
• 利用狄拉克 δ 函数和傅里叶积分恒等式，求值包含分数部分的双重积分。
• 应用部分分式和围道积分技术，求值包含三角函数和对数项的振荡积分。
• 使用引理 1 和引理 3，通过整数区间上的求和恒等式，求值形如 ∫P₁²(x)/x²σ+1 dx 的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界线上，二阶矩积分 ∫|ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt 的精确值是多少？
• RQ2 对于 σ > 1，如何用 zeta 函数表示 Hurwitz zeta 函数 ζ(s,a) 的二阶矩？
• RQ3 被积函数中包含对数权重的分数部分积分的渐近行为是什么？
• RQ4 黎曼 zeta 函数的结果能否推广至交错 Hurwitz zeta 函数和 Dirichlet L-函数？
• RQ5 ∫ |ζ(s)/s|² 的积分与 digamma 函数的特殊值之间有何联系？

主要发现

• 对于 σ > 1 且 a > 0，有 ∫_{-∞}^{∞} |ζ(s,a)/s|² dt = (π/σ)[2ζ(2σ−1,a) + (1−2a)ζ(2σ,a)]。
• 当 a = 1 时，该结果简化为 ∫ |ζ(s)/s|² dt = (π/σ)[2ζ(2σ−1) − ζ(2σ)]，该结果在附录中通过两种独立方法得到验证。
• 积分 ∫ |ζ(1/2+it)|²/(t²+1/4) dt = 2π(ln(2π) − γ) 被确立为一个特例，其中 γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
• 对于交错 Hurwitz zeta 函数，有 ∫ |ζₐ(s,a)/s|² dt = (π/σ)ζₐ(2σ,a)，该结果恢复了 Ivić (2009) 的定理 1。
• 推论 5 表明 ∫ |ζₐ(1/2+it,1/2)/(1/2+it)|² dt = π²，这是 a = 1/2 时的闭式结果。
• 提出一个猜想：lim_{s→0} s² ∫₁^∞ φ(x)/x^{s+1} dx = 1/4，其中 φ(x) 是一个包含特征函数和分数部分的双重积分。