[论文解读] Evaluation of the ADM mass and center of mass via the Ricci tensor

Pengzi Miao, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提供了ADM质量与中心质量在渐近平坦流形中与基于里奇张量和数量曲率的内在定义等价性的直接证明，且不依赖于密度定理。通过度量的渐近衰减条件，利用显式积分恒等式与曲率项的渐近分析，建立了标准ADM质量与基于曲率的质量之间的相等性，以及哈密顿量与内在中心质量定义之间的相等性。

ABSTRACT

We prove directly without using a density theorem that (i) the ADM mass defined in the usual way on an asymptotically flat manifold is equal to the mass defined intrinsically using Ricci tensor; (ii) the Hamiltonian formulation of center of mass and the center of mass defined intrinsically using Ricci tensor are the same.

研究动机与目标

• 建立ADM质量与通过里奇张量定义的内在质量之间的等价性，且不依赖于密度定理。
• 证明哈密顿量形式的中心质量与通过里奇张量定义的内在中心质量之间的等价性。
• 在曲率与度量衰减条件的基础上，提供质量与中心质量的直接分析推导。
• 阐明这些量在渐近平坦时空下良好定义且有限的条件。

提出的方法

• 通过在大球面上对度量一阶导数的散度使用标准积分公式推导ADM质量。
• 利用共形凯利向量场 $X = x^i \partial_i$，将内在质量表示为里奇张量与数量曲率的函数。
• 在度量衰减条件 $g_{ij} - \delta_{ij} = o_2(|x|^{-(n-2)/2})$ 下应用度量及其导数的渐近展开。
• 通过分部积分与曲率恒等式，将ADM质量与内在质量积分联系起来。
• 通过引入每个空间方向的共形凯利向量场 $Y_{(\alpha)} = (|x|^2 \delta^{\alpha i} - 2x^\alpha x^i) \partial_i$ 来分析中心质量。
• 通过比较被积函数并证明其在无穷远处的差值趋于零，建立哈密顿量与内在中心质量积分的渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种度量衰减条件下，ADM质量等于通过里奇张量定义的内在质量？
• RQ2 在不使用密度定理的情况下，哈密顿量与内在定义的中心质量在渐近平坦流形中是否等价？
• RQ3 Regge–Teitelboim条件在确保中心质量定义的有限性与等价性方面起什么作用？
• RQ4 曲率项与度量导数在渐近极限下如何相互作用以导出质量与中心质量？
• RQ5 ADM质量与在大球面上对里奇张量积分之间的确切关系是什么？

主要发现

• 在衰减条件 $g_{ij} - \delta_{ij} = o_2(|x|^{-(n-2)/2})$ 下，ADM质量 $\mathfrak{m}$ 等于通过里奇张量定义的内在质量 $\mathfrak{m}_I$，即 $\lim_{r\to\infty} (\mathfrak{m}(r) - \mathfrak{m}_I(r)) = 0$。
• 哈密顿量中心质量 $\mathbf{c}_{\rm CS}$ 与内在中心质量 $\mathbf{c}_I$ 等价，即 $\lim_{r\to\infty} (\mathbf{c}_{\rm CS}(r) - \mathbf{c}_I(r)) = 0$，前提是满足Regge–Teitelboim条件 $g_{ij}^{\rm odd} = o_2(|x|^{-n/2})$。
• 该等价性通过曲率与度量导数项的直接渐近分析建立，避免了使用密度定理或逼近论证。
• 证明表明，由于度量二阶导数项之间的抵消，ADM质量与内在质量积分之间的差值在无穷远处趋于零。
• 对于中心质量，关键步骤是证明哈密顿量与内在形式的被积函数之差在给定衰减假设下趋于零。
• 结果确认，在自然的渐近衰减条件下，基于曲率的質量与中心质量定义与标准ADM及哈密顿量形式一致。