[论文解读] Evanescent modes in Sonic Crystals: Complex relation dispersion and supercell approximation

Vicente Romero‐García, J. V. Sánchez-Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2010

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文将平面波展开（PWE）方法扩展至求解二维声学晶体（SCs）中的复波矢量 $k(\omega)$，从而实现对传播模态与倏逝模态的分析。通过超原胞近似与显式矩阵公式，实验验证了禁带内倏逝模态的指数衰减特性，测得 $Im(k) = -5.60 \pm 1.45\ \text{m}^{-1}$，其结果在误差范围内与理论预测一致。

ABSTRACT

Evanescent modes in complete sonic crystals (SC) and SC with point defects are reported both theoretically and experimentally in this paper. Plane wave expansion (PWE) and, in general, $ω(k)$ methods have been used to calculate band structures showing gaps that have been interpreted as ranges of frequencies where no real $k$ exists. In this work, we extend PWE to solve the complex $k(ω)$ problem applied to SC, introducing the supercell approximation for studying one vacancy. Explicit matrix formulation of the equations is given. This $k(ω)$ method enables the calculation of complex band structures, as well as enabling an analysis of the propagating modes related with real values of the function $k(ω)$, and the evanescent modes related with imaginary values of $k(ω)$. This paper shows theoretical results and experimental evidences of the evanescent behavior of modes inside the SC band gap. Experimental data and numerical results using the finite elements method are in very good agreement with the predictions obtained using the $k(ω)$ method.

研究动机与目标

• 分析传统 $\omega(\vec{k})$ 带结构方法难以检测的声学晶体（SCs）中的倏逝模态。
• 将平面波展开（PWE）方法扩展至求解逆问题 $k(\omega)$，从而实现复波矢量的计算。
• 开发并应用超原胞近似以建模声学晶体中的点缺陷，并分析局域化的倏逝模态。
• 通过3D机器人化声学测量系统（3DReAMS）实验验证禁带内倏逝模态的指数衰减特性。
• 建立一个一致的框架，连接分析结果、数值模拟（FEM）与实验结果，用于描述声学晶体中复波矢量的行为。

提出的方法

• 将PWE方法扩展以求解 $k(\omega)$ 的特征值问题，从而实现对二维声学晶体中复波矢量的计算。
• 推导扩展PWE（EPWE）的显式矩阵公式，以求解 $k(\omega)$，包含实部与虚部。
• 应用超原胞近似以建模周期性声学晶体中的单个空位，从而分析局域模态。
• 利用有限元法（FEM）模拟求解散射问题，并计算平面波入射下声学晶体中的压力场。
• 采用3D机器人化声学测量系统（3DReAMS）实验测量声学晶体中圆柱列之间的压力场分布。
• 将实验测得的压力衰减数据拟合至指数函数 $ae^{bx}$，以提取波矢量的虚部 $Im(k)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 扩展的PWE方法能否准确预测二维声学晶体中倏逝模态的复波矢量 $k(\omega)$？
• RQ2 超原胞近似在多大程度上能正确模拟点缺陷声学晶体中的局域模态？
• RQ3 禁带内倏逝模态的指数衰减是否可实验测量，并且与理论预测在定量上一致？
• RQ4 波矢量的一次谐波是否主导衰减行为，还是高阶谐波也具有显著影响？
• RQ5 FEM模拟在多大程度上能准确再现有限声学晶体中实验测得的压力场衰减？

主要发现

• 扩展的PWE（EPWE）成功预测了二维声学晶体的复带结构，涵盖传播模态与倏逝模态。
• 在920 Hz处，倏逝模态的波矢量虚部经理论预测为 $Im(k) = -5.6\ \text{m}^{-1}$。
• 通过3DReAMS实验测量得到 $Im(k) = -5.60 \pm 1.45\ \text{m}^{-1}$，与理论预测高度一致。
• 声学晶体内部的压力场衰减遵循单一指数行为，证实仅一次谐波主导倏逝衰减。
• FEM模拟准确再现了实验测得的压力场衰减曲线，验证了数值模型的可靠性。
• 对于点缺陷，局域模态在完整声学晶体中表现为纯虚数 $k$（倏逝），而在缺陷情况下转变为纯实数 $k$（传播），与文献报道一致。