[论文解读] Even and odd instanton bundles on Fano threefolds of Picard number 1

Daniele Faenzi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文引入了关于 Picard 数为 1 的 Fano 三复乘积上的偶数与奇数瞬子丛，推广了来自 $\mathbb{P}^3$ 的经典概念。通过单态射与几何不变量理论，构建了其模空间的一个良好行为的不可约分支，证明了在中间雅可比代数群为平凡时的光滑性与有理化性质，并将 $\mathbb{P}^5$ 中两个二次曲面交线上的瞬子丛与一个亏格 2 曲线上的向量丛联系起来。

ABSTRACT

We consider an analogue of the notion of instanton bundle on the projective 3-space, consisting of a class of rank-2 vector bundles defined on smooth Fano threefolds X of Picard number one, having even or odd determinant according to the parity of K_X. We first construct a well-behaved irreducible component of their moduli spaces. Then, when the intermediate Jacobian of X is trivial, we look at the associated monads, hyperdeterminants and nets of quadrics. We also study one case where the intermediate Jacobian of X is non-trivial, namely when X is the intersection of two quadrics in P5, relating instanton bundles on X to vector bundles of higher rank on a the curve of genus 2 naturally associated with X.

研究动机与目标

• 将瞬子丛的概念从 $\mathbb{P}^3$ 扩展到任意指标的 Picard 数为 1 的 Fano 三复乘积。
• 构建此类三复乘积上 $k$-瞬子丛模空间的一个良好行为的不可约分支。
• 当中间雅可比代数群为平凡时，利用单态射与超行列式分析这些模空间的几何结构。
• 将 $\mathbb{P}^5$ 中两个二次曲面交线上的瞬子丛与相关亏格 2 曲线上的向量丛联系起来。
• 通过群作用于单态射数据，建立模空间的几何商描述。

提出的方法

• 将 Fano 三复乘积上的 $k$-瞬子丛定义为满足 $F \simeq F^* \otimes \omega_X$ 且 $H^1(X,F) = 0$ 的稳定秩 2 丛，并将其扭至 $c_1 = 0$ 或 $-1$。
• 利用导出范畴中全强例外集列的存在性，从向量空间 $I$、$W$ 和 $U = \operatorname{Hom}_X(\mathscr{E}_2, \mathscr{E}_3)$ 构造单态射。
• 定义满足 $A \circ B = 0$ 的对 $(A,B)$ 的代数簇 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$，其中 $A$ 为满射，$B$ 为单射。
• 引入群 $\hat{G}_k = \operatorname{GL}(I) \times \operatorname{GL}(W) \times \operatorname{GL}(J)$ 作用于 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$，通过几何不变量理论参数化瞬子丛。
• 证明商空间 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ / \hat{G}_k$ 同构于模空间 $\operatorname{MI}_X(k)$，并代表模函子。
• 建立闭嵌入 $\Phi: \mathscr{Q}_{X,k}^\circ \hookrightarrow \hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$，并识别 $\operatorname{MI}_X(k)$ 为 $\mathscr{Q}_{X,k}^\circ$ 关于子群 $G_k \subset \hat{G}_k$ 的商。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Picard 数为 1 的 Fano 三复乘积 $X$ 上的 $k$-瞬子丛模空间 $\operatorname{MI}_X(k)$ 具有光滑且不可约的分支？
• RQ2 当中间雅可比代数群为平凡时，如何几何地构造瞬子丛的模空间？
• RQ3 在 $\mathbb{P}^5$ 中两个二次曲面的交线上，瞬子丛与相关亏格 2 曲线上的向量丛之间存在何种关系？
• RQ4 模空间 $\operatorname{MI}_X(k)$ 的维数如何依赖于指标 $i_X$ 与瞬子荷 $k$？
• RQ5 瞬子丛的模空间能否作为单态射数据空间在半单群作用下的几何商实现？

主要发现

• 模空间 $\operatorname{MI}_X(k)$ 具有一个通有光滑的不可约分支，其维数为 $\delta$，其中 $\delta = 8k-3$ 当 $i_X=4$，$6k-6$ 当 $i_X=3$，$4k-3$ 当 $i_X=2$，$2k - g_X - 2$ 当 $i_X=1$，并给出了非空性条件。
• 对于中间雅可比代数群为平凡的 Fano 三复乘积（即 $\mathbb{P}^3$、二次曲面三复乘积、$\mathrm{Gr}(2,5)$ 的线性截面，以及亏格 12 的初等 Fano 三复乘积），模空间 $\operatorname{MI}_X(k)$ 同构于几何商 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ / \hat{G}_k$，该商空间光滑且有理。
• 该构造利用了 $D^b(X)$ 中全强例外集列构建的单态射，其中 $I$、$W$ 和 $U$ 的显式维数依赖于 $i_X$ 与 $k$，确保在 $k$ 超过某一阈值时非空。
• 当 $X$ 为 $\mathbb{P}^5$ 中两个二次曲面的交线时，本文通过单态射数据将 $X$ 上的瞬子丛与相关亏格 2 曲线上的高阶秩向量丛联系起来。
• $\hat{G}_k$ 在 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ$ 上的作用是适当的，且商空间为几何商，确认 $\hat{\mathscr{Q}}_{X,k}^\circ / \hat{G}_k$ 代表瞬子丛的模函子。
• 通过显式嵌入 $\Phi$ 与轨道等价性，模空间 $\operatorname{MI}_X(k)$ 被识别为 $\mathscr{Q}_{X,k}^\circ / G_k$，其中 $G_k$ 是 $\hat{G}_k$ 的子群。