[论文解读] Even ordinals and the Kunen inconsistency

Gabriel Goldberg|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文研究在 ZF 集合论中无选择公理时，超越 Kunen 不一致性的大基数结构，聚焦于偶序数与秩到秩嵌入。它建立了偶数与奇数阶之间可定义性性质的周期性交替，证明了 $V_{\lambda+3}$ 上的初等嵌入蕴含 ZFC + $I_0$ 的一致性，且 $V_{\lambda+2}$ 上此类嵌入的存在性与 $L(V_{\lambda+2})$ 中的嵌入等价一致，推进了无选择大基数理论与 Ketonen 序列的发展。

ABSTRACT

This paper contributes to the theory of large cardinals beyond the Kunen inconsistency, or choiceless large cardinal axioms, in the context where the Axiom of Choice is not assumed. The first part of the paper investigates a periodicity phenomenon: assuming choiceless large cardinal axioms, the properties of the cumulative hierarchy turn out to alternate between even and odd ranks. The second part of the paper explores the structure of ultrafilters under choiceless large cardinal axioms, exploiting the fact that these axioms imply a weak form of the author's Ultrapower Axiom. The third and final part of the paper examines the consistency strength of choiceless large cardinals, including a proof that assuming DC, the existence of an elementary embedding from $V_{λ+3}$ to $V_{λ+3}$ implies the consistency of ZFC + $I_0$. By a recent result of Schlutzenberg, an elementary embedding from $V_{λ+2}$ to $V_{λ+2}$ does not suffice.

研究动机与目标

• 发展超越 Kunen 不一致性的无选择大基数理论，特别聚焦于满足 $n \geq 2$ 的嵌入 $j:V_{\lambda+n} \to V_{\lambda+n}$。
• 研究在无选择大基数公理下，累积层次中偶数与奇数阶之间可定义性性质的周期性交替。
• 建立 $V_{\lambda+2}$ 上嵌入与内模型 $L(V_{\lambda+2})$ 中嵌入的等价一致性。
• 证明在依赖选择公理下，$V_{\lambda+3}$ 上存在初等嵌入 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ 蕴含 ZFC + $I_0$ 的一致性。
• 在无选择条件下分析超滤子结构与 Ketonen 序列，证明在依赖选择公理下其良基性与非自反性。

提出的方法

• 引入偶序数与奇序数的概念，定义为 $\alpha = \lambda + 2n$（其中 $\lambda$ 为极限序数，$n \in \omega$），以研究可定义性中的周期性。
• 在弱形式下应用超幂公理，分析无选择大基数公理下的超滤子结构。
• 使用滤子约化与比较方法，将 Ketonen 序列推广至带点滤子，并分析其良基性。
• 采用 $\sigma$-映射及其导出的滤子序列，刻画约化与比较关系，将其与 Ketonen 序列联系起来。
• 应用如下原则：$j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ 蕴含 $V_{\lambda+1}$ 的每个子集都有一个其自身的尖点，以推导一致性强度结果。
• 使用超滤子上的内部关系 $\sqsubset$，并通过基于函数在几乎所有地方支配序数的矛盾论证，证明其非自反性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无选择大基数公理下，累积层次中偶序数与奇序数阶的初等嵌入可定义性中，会浮现何种周期性模式？
• RQ2 当存在初等嵌入时，$V_{\lambda+2}$ 与 $V_{\lambda+3}$ 的结构性质有何不同？其一致性强度如何？
• RQ3 是否存在初等嵌入 $j:V_{\lambda+2} \to V_{\lambda+2}$ 与 $L(V_{\lambda+2})$ 中存在一个临界点低于 $\lambda$ 的嵌入等价一致？
• RQ4 在依赖选择公理下，$V_{\lambda+3}$ 上存在初等嵌入 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ 是否蕴含 ZFC + $I_0$ 的一致性？
• RQ5 在 ZF + DC 下，滤子与超滤子上的 Ketonen 序列是否可证明为良基且非自反？

主要发现

• 当 $\epsilon$ 为偶序数时，$V_\epsilon$ 到 $V_\epsilon$ 的任何非平凡初等嵌入在 $V_\epsilon$ 上均不可定义。
• 当 $\epsilon$ 为偶序数时，$V_{\epsilon+1}$ 到 $V_{\epsilon+1}$ 的每个初等嵌入在 $V_{\epsilon+1}$ 上均可定义。
• 在依赖选择公理下，$V_{\lambda+3}$ 上存在初等嵌入 $j:V_{\lambda+3} \to V_{\lambda+3}$ 蕴含 ZFC + $I_0$ 的一致性。
• $V_{\lambda+2}$ 上存在初等嵌入 $j:V_{\lambda+2} \to V_{\lambda+2}$ 与 $L(V_{\lambda+2})$ 中存在初等嵌入 $j: L(V_{\lambda+2}) \to L(V_{\lambda+2})$ 且临界点低于 $\lambda$ 的存在性等价一致。
• 在依赖选择公理下，滤子上的 Ketonen 序列是良基的，且内部关系 $\sqsubset$ 在可数完备超滤子上是非自反的。
• 对任意具有临界点的超滤子 $U$，有 $U \not\sqsubset U$，从而证明了内部关系的非自反性。