[论文解读] Eventum Mechanics of Quantum Trajectories: Continual Measurements, Quantum Predictions and Feedback Control

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Feb 23, 2007

Quantum Information and Cryptography参考文献 37被引用 9

一句话总结

本文提出事件力学（Eventum Mechanics），一种用于连续测量的量子随机框架，推导出扩散型与计数型测量的量子滤波方程。建立了最优反馈控制的量子贝尔曼方程，在线性二次高斯（LQG）情形下揭示了量子滤波与经典控制之间的微观对偶性，从而将量子反馈控制问题简化为经典随机控制问题。

ABSTRACT

Quantum mechanical systems exhibit an inherently probabilistic nature upon measurement which excludes in principle the singular direct observability continual case. Quantum theory of time continuous measurements and quantum prediction theory, developed by the author on the basis of an independent-increment model for quantum noise and nondemolition causality principle in the 80's, solves this problem allowing continual quantum predictions and reducing many quantum information problems like problems of quantum feedback control to the classical stochastic ones. Using explicit indirect observation models for diffusive and counting measurements we derive quantum filtering (prediction) equations to describe the stochastic evolution of the open quantum system under the continuous partial observation. Working in parallel with classical indeterministic control theory, we show the Markov Bellman equations for optimal feedback control of the a posteriori stochastic quantum states conditioned upon these two kinds of measurements. The resulting filtering and Bellman equation for the diffusive observation is then applied to the explicitly solvable quantum linear-quadratic-Gaussian (LQG) problem which emphasizes many similarities and differences with the corresponding classical nonlinear filtering and control problems and demonstrates microduality between quantum filtering and classical control.

研究动机与目标

• 为解决由于量子不确定性导致无法直接观测的连续量子测量与预测的根本挑战。
• 基于非破坏性因果性与独立增量量子噪声，发展一种连续观测的量子随机理论。
• 推导描述开放量子系统在连续部分观测下随机演化的扩散型与计数型量子滤波方程。
• 为基于扩散型与计数型测量的后验量子态估计，制定最优反馈控制的量子贝尔曼方程。
• 通过显式求解量子线性二次高斯（LQG）问题，展示量子滤波与经典控制之间的微观对偶性。

提出的方法

• 利用独立增量模型描述量子噪声，并基于非破坏性因果性原理建模连续测量。
• 推导出扩散型贝拉金方程与计数型贝拉金方程，作为开放量子系统连续观测的量子滤波方程。
• 应用量子随机微积分（QS微积分）与函数型非交换伊藤公式，推导一般量子随机主方程。
• 引入QS胚与伪酉性概念，以表征量子随机演化，并确保完全正性与归一化。
• 通过结合量子滤波与经典动态规划原理，推导最优反馈控制的量子贝尔曼方程。
• 显式求解量子LQG问题，表明其在微观对偶性下等价于经典非线性滤波与控制问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持因果性的同时建模连续量子测量，以实现实时预测量子态？
• RQ2 描述量子系统在连续扩散型与计数型测量下随机演化的量子滤波方程是什么？
• RQ3 如何在量子领域中，基于连续测量的后验态估计，制定最优反馈控制？
• RQ4 在线性二次高斯（LQG）设置下，量子滤波与经典控制之间存在何种关系？
• RQ5 在LQG情形下，量子滤波与经典控制之间以何种方式展现出微观对偶性？

主要发现

• 推导出扩散型贝拉金方程与计数型贝拉金方程，作为开放量子系统在连续部分观测下随机演化的量子滤波方程。
• 推导出适用于扩散型观测的量子贝尔曼方程，并将其应用于线性二次高斯（LQG）问题，表明最优反馈控制可简化为经典随机控制问题。
• 量子LQG问题展现出与经典控制的微观对偶性：量子滤波动力学镜像经典非线性滤波，而控制问题则简化为经典动态规划问题。
• 利用函数型非交换伊藤公式推导出一般量子随机主方程，其生成元以QS胚表示，并满足归一化与完全正性条件。
• 证明弱归一化条件 $ L + L^* + abla_i L_i L_i^* = 0 $ 在一般QS演化方程中可保持归一化与完全正性。
• 该理论通过将问题分解为量子滤波（状态估计）与经典最优控制（动作选择）两部分，为量子反馈控制建立了严格框架，使量子纠错与态制备等实际应用成为可能。