[论文解读] Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to $\sqrt{3}$

Cole Hugelmeyer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明了平面上任意光滑若尔当曲线均包含一个边长比为√3的内接矩形，采用四维推广的沃恩莫比乌斯带论证方法。通过将莫比乌斯带嵌入C²，并应用对扭结T₆,₅的非可定向截面亏格的界限，证明了对于所有光滑曲线，此类矩形必然存在。

ABSTRACT

We use Batson's lower bound on the nonorientable slice genus of $(2n,2n-1)$-torus knots to prove that for any $n \geq 2$, every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle of of aspect ratio $ an(\frac{πk}{2n})$ for some $k\in \{1,...,n-1\}$. Setting $n = 3$, we have that every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle of aspect ratio $\sqrt{3}$.

研究动机与目标

• 解决所有光滑若尔当曲线是否存在边长比为√3的内接矩形的问题。
• 将沃恩的莫比乌斯带方法推广至高维嵌入，以控制内接矩形的边长比。
• 应用拓扑不变量——特别是扭结的非可定向4-亏格界限——以限制可能的内接矩形。
• 证明当n=3时，边长比tan(πk/6)（k=1,2）对应边长比为√3或1/√3，二者在倒数对称下等价。

提出的方法

• 从莫比乌斯带M = Sym²(S¹)构造一个光滑嵌入µ: M → C²，基于曲线γ: S¹ → C。
• 定义µ{tx,yu = ((γ(x)+γ(y))/2, (γ(y)−γ(x))^{2n})，以编码中点与复数平方弦长。
• 利用dµ的非退化性确保µ为嵌入，因此µ(M)是C²中的光滑莫比乌斯带。
• 分析µ(M)在C×{0}附近的边界，表明其同痕于C×S¹中的扭结Kn = {(g, g^{2n}) | g ∈ S¹}。
• 应用巴茨昂对T_{2n,2n−1}扭结的非可定向4-亏格下界，证明当n≥3时，Kn在C×S¹×R≥0中不能张成一个莫比乌斯带。
• 若不存在边长比为tan(πk/2n)的矩形，则导出矛盾，从而证明对某个k，此类矩形必然存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个光滑若尔当曲线是否都包含一个边长比为√3的内接矩形？
• RQ2 在内接正方形问题中使用的莫比乌斯带构造方法能否推广，以控制内接矩形的边长比？
• RQ3 在四维流形中，何种拓扑障碍会阻止莫比乌斯带张成特定扭结？
• RQ4 扭结的非可定向4-亏格界限如何约束内接矩形的存在性？
• RQ5 对于哪些边长比r，每个光滑若尔当曲线必然包含一个边长比为r的内接矩形？

主要发现

• 对每个光滑若尔当曲线γ，均存在一个边长比为√3的内接矩形。
• 该结论通过假设不存在此类矩形将导致与扭结T₆,₅的非可定向4-亏格界限矛盾而得证。
• 证明表明，对任意n≥2，存在k∈{1,…,n−1}，使得边长比为tan(πk/2n)的内接矩形存在。
• 当n=3时，可能的边长比为tan(π/6)=1/√3和tan(2π/6)=√3，由于边长比在倒数对称下等价，二者均对应边长比为√3的矩形。
• 矛盾源于在C×S¹×R≥0中存在一个光滑莫比乌斯带张成Kn，而根据巴茨昂的亏格界限，当n≥3时这是不可能的。
• 关键的拓扑障碍是非可定向4-亏格在扭结T_{2n,2n−1}上非零，其值至少为n−1。