[论文解读] Evolution equations for special Lagrangian 3-folds in C^3

Dominic Joyce|ArXiv.org|Oct 3, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过求解关于二次映射 Φₜ: ℝ² → ℂ³ 的非线性常微分方程组，采用基于演化方法的构造，显式构建了 ℂ³ 中特殊拉格朗日子流形 3-流形 的族。关键贡献在于显式参数化了新的特殊拉格朗日子流形 3-流形 族，包括产生微分同胚于 S¹×ℝ² 的周期解，以及对其奇点和无穷远处渐近行为的详细分析，其在无穷远处渐近表现为特殊拉格朗日子流形 3-平面的分支覆盖。

ABSTRACT

This is the third in a series of papers constructing explicit examples of special Lagrangian submanifolds in C^m. The previous paper in the series, math.DG/0008155, defined the idea of evolution data, which includes an (m-1)-submanifold P in R^n, and constructed a family of special Lagrangian m-folds N in C^m, which are swept out by the image of P under a 1-parameter family of linear or affine maps phi_t : R^n -> C^m, satisfying a first-order o.d.e. in t. In this paper we use the same idea to construct special Lagrangian 3-folds in C^3. We find a 1-1 correspondence between sets of evolution data with m=3 and homogeneous symplectic 2-manifolds P. This enables us to write down several interesting sets of evolution data, and so to construct corresponding families of special Lagrangian 3-folds in C^3. Our main results are a number of new families of special Lagrangian 3-folds in C^3, which we write very explicitly in parametric form. Generically these are nonsingular as immersed 3-submanifolds, and diffeomorphic to R^3 or S^1 x R^2. Some of the 3-folds are singular, and we describe their singularities, which we believe are of a new kind. We hope these 3-folds will be helpful in understanding singularities of compact special Lagrangian 3-folds in Calabi-Yau 3-folds. This will be important in resolving the SYZ conjecture in Mirror Symmetry.

研究动机与目标

• 通过先前工作中提出的演化方法，在 ℂ³ 中构造新的特殊拉格朗日子流形 3-流形 的例子。
• 分析这些 3-流形 的奇点和几何结构，特别是由非浸入初始数据产生的部分。
• 研究所构造 3-流形 在无穷远处的渐近行为，识别其极限几何模型。
• 在 ℂ³ 自同构下对 3-流形 的族进行分类，并确定其参数计数。

提出的方法

• 该构造使用一个一维参数族的二次映射 Φₜ: ℝ² → ℂ³，其满足一阶非线性常微分方程：dΦₜ/dt = (∂Φₜ/∂y₁) × (∂Φₜ/∂y₂)，其中 × 表示 ℂ³ 中的叉积。
• 完整的 3-流形 N 作为映射 Φ: ℝ³ → ℂ³ 的像获得，定义为 Φ(y₁,y₂,t) = Φₜ(y₁,y₂)，在适当的 Φ₀ 初始条件下，N 为特殊拉格朗日子流形。
• 该方法涉及求解六个向量值函数 z₁,…,z₆: ℝ → ℂ³ 的常微分方程组，通过利用对称性简化分析。
• 对于第一族，演化数据源自 SL(2,ℝ) ⋉ ℝ² 对 ℝ² 的作用，由此得到在 ℂ³ 自同构下等价的 9 维特殊拉格朗日子流形 3-流形 族。
• 对于第二族，演化数据源自 K ⋉ Uₖ 对 T*ℝ 的作用，其中 K 是 ℝ 的保向仿射变换群，Uₖ 是次数小于 k 的多项式 1-形式空间。
• 在考虑时间平移对称性后，K ⋉ Uₖ 族的参数计数为 4k−5 个实参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 ℂ³ 中的演化方法构造的特殊拉格朗日子流形 3-流形 的几何与拓扑性质是什么？
• RQ2 这些 3-流形 的奇点如何产生，特别是在非浸入初始数据情况下其性质如何？
• RQ3 这些 3-流形 在无穷远处的渐近行为是什么，它们与特殊拉格朗日子流形 3-平面有何关系？
• RQ4 演化族在何种条件下成为周期性的，这对所得到 3-流形 的拓扑结构意味着什么？
• RQ5 在 ℂ³ 自同构下，存在多少个不同的特殊拉格朗日子流形 3-流形 族，其参数计数是多少？

主要发现

• 本文通过定理 8.4、10.3 和 11.5 显式构造了 ℂ³ 中三个特殊拉格朗日子流形 3-流形 族，其参数化完全以初始数据和时间演化表达。
• 对于 SL(2,ℝ) ⋉ ℝ² 族，构造在 ℂ³ 自同构下产生一个 9 维的特殊拉格朗日子流形 3-流形 族。
• 第二族源自 K ⋉ Uₖ，其在商去时间平移对称性后，参数计数为 4k−5 个实参数，其中 k≥1。
• 当 k≥3 时存在周期解，由此产生可数个微分同胚于 S¹×ℝ² 的浸入特殊拉格朗日子流形 3-流形，如定理 11.6 所示。
• 在无穷远处，3-流形 弱渐近于两个沿实直线相交的特殊拉格朗日子流形 3-平面 L₁ 和 L₂ 的并集，其中 L₁ 以 k 重分支覆盖方式趋近，L₂ 以 1-1 覆盖方式趋近。
• 渐近收敛速度为 O(r^{(k−1)/k})，表明其向极限平面的逼近过程相对缓慢。