[论文解读] Evolutionarily stable strategies of random games, and the vertices of random polygons

Hart, Sergiu, Rinott, Yosef+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2008

Game Theory and Applications被引用 11

一句话总结

本文研究了在大随机博弈中，两个策略的进化稳定策略（ESS）的存在性与分布，其中收益矩阵的元素为从分布 F 独立同分布抽取的随机变量。研究发现，对于轻尾分布（如均匀分布、正态分布），两个策略 ESS 的概率随 n → ∞ 而收敛至 1；而对于重尾分布（如帕累托分布、柯西分布），该概率收敛至 1 − 1/√e ≈ 39%。结果还表明，对于轻尾分布，平面内 n 个随机点的凸包顶点数的期望发散，而对于重尾分布则收敛至 4。

ABSTRACT

An evolutionarily stable strategy (ESS) is an equilibrium strategy that is immune to invasions by rare alternative (``mutant'') strategies. Unlike Nash equilibria, ESS do not always exist in finite games. In this paper we address the question of what happens when the size of the game increases: does an ESS exist for ``almost every large'' game? Letting the entries in the $n imes n$ game matrix be independently randomly chosen according to a distribution $F$, we study the number of ESS with support of size $2.$ In particular, we show that, as $n o \infty$, the probability of having such an ESS: (i) converges to 1 for distributions $F$ with ``exponential and faster decreasing tails'' (e.g., uniform, normal, exponential); and (ii) converges to $1-1/\sqrt{e}$ for distributions $F$ with ``slower than exponential decreasing tails'' (e.g., lognormal, Pareto, Cauchy). Our results also imply that the expected number of vertices of the convex hull of $n$ random points in the plane converges to infinity for the distributions in (i), and to 4 for the distributions in (ii).

研究动机与目标

• 确定在具有独立同分布收益项的大随机博弈中，两个策略进化稳定策略（ESS）存在的渐近概率。
• 将分布划分为两类——尾部衰减速度为指数或更快的分布（EF 类）与尾部衰减速度慢于指数的分布（SE 类），并研究其对 ESS 存在性的影响。
• 建立随机博弈中两个策略 ESS 的数量与平面内 n 个随机点凸包顶点数之间的联系。
• 分析两个策略 ESS 数量的极限分布，证明其收敛于参数依赖于 F 尾部分布行为的泊松分布。
• 探讨在不同分布假设下，大博弈中任意 ESS（纯策略或混合策略）存在概率的整体收敛性。

提出的方法

• 建立 n×n 随机博弈模型，收益项独立同分布于连续分布 F，其定义域为 (a,b)，并将两个策略 ESS 定义为支持大小为 2 的对称混合策略。
• 采用陈-斯坦方法（Chen–Stein method）进行泊松近似，分析两个策略 ESS 的数量，推导实际分布与泊松极限之间总变差距离的界。
• 根据尾部概率 1−F(x) 在 x→∞ 时的行为，将分布划分为 EF 类（尾部衰减速度为指数或更快）与 SE 类（尾部衰减速度慢于指数）。
• 利用几何与概率论论证，分析两个策略 ESS 事件的联合概率，特别关注涉及三个策略的收益比较的联合分布。
• 应用随机几何中的结果，将两个策略 ESS 的数量与平面内 n 个随机点凸包的顶点数联系起来，其中分布 F 为对称版本。
• 使用集中与尾部概率界限（如推论 24，引理 22、28–30）控制涉及收益比较的罕见事件的概率，从而得出两个策略 ESS 数量的渐近结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当策略数 n → ∞ 时，两个策略 ESS 在大随机博弈中存在性的极限概率是多少？
• RQ2 收益分布 F 的尾部行为如何影响两个策略 ESS 的存在性与数量？
• RQ3 大随机博弈中两个策略 ESS 数量的极限分布是什么？
• RQ4 平面内 n 个随机点的凸包顶点数与对应随机博弈中两个策略 ESS 数量之间有何关系？
• RQ5 对于所有分布，任意 ESS（纯策略或混合策略）存在的整体概率是否都收敛至 1？还是取决于尾部行为？

主要发现

• 对于 EF 类分布（如均匀分布、正态分布、指数分布），两个策略 ESS 的概率随 n → ∞ 而收敛至 1。
• 对于 SE 类分布（如帕累托分布、柯西分布、对数正态分布），两个策略 ESS 的概率随 n → ∞ 而收敛至 1 − 1/√e ≈ 39%。
• 两个策略 ESS 的数量在分布上收敛于泊松(λ_n) 分布，其中 EF 分布下 λ_n → ∞，SE 分布下 λ_n → 1/2。
• 对于 EF 分布，平面内 n 个随机点凸包顶点数的期望发散至无穷大；而对于 SE 分布，其收敛至 4。
• 对于 SE 分布，凸包顶点数以概率收敛于 4，意味着凸包为四边形的概率趋近于 1。
• 对于 SE 分布，存在支持大小不超过 2 的 ESS 的概率收敛于 1 − e^{-3/2} ≈ 78%，表明其极限值低于 1，具有非平凡性。