[论文解读] Exact algorithms for dominating induced matchings

Min Chih Lin, Michel J. Mizrahi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文提出了两种精确算法，用于在加权图中寻找最小权支配诱导匹配（DIM）。第一种算法利用较小的点支配集，实现线性时间复杂度；第二种算法利用多项式数量的最大独立集，当此类集合数量有限时可获得多项式时间解法，否则为指数时间复杂度。

ABSTRACT

Say that an edge of a graph G dominates itself and every other edge adjacent to it. An edge dominating set of a graph G = (V,E) is a subset of edges E' of E which dominates all edges of G. In particular, if every edge of G is dominated by exactly one edge of E' then E' is a dominating induced matching. It is known that not every graph admits a dominating induced matching, while the problem to decide if it does admit is NP-complete. In this paper we consider the problem of finding a minimum weighted dominating induced matching, if any, of a graph with weighted edges. We describe two exact algorithms for general graphs. The algorithms are efficient in the cases where G admits a known vertex dominating set of small size, or when G contains a polynomial number of maximal independent sets.

研究动机与目标

• 解决加权图中寻找最小权支配诱导匹配（DIM）的NP完全问题。
• 在输入图具有特定结构约束的条件下，开发高效求解DIM问题的精确算法。
• 探索DIM与最大独立集之间的关系，从而提出一种新型算法思路。
• 当最大独立集数量多项式有界时，提供多项式时间解法。
• 基于图参数（如点支配和最大独立集枚举）建立DIM问题复杂度的理论界。

提出的方法

• 提出第一种算法，以已知的小点支配集为起点，通过推理规则传播有效的黑白点着色。
• 应用四种推理规则传播部分着色：白色邻居必须为黑色，成对的黑色点必须有白色邻居（除其配对点外），有两个黑色邻居的点必须为白色，以及仅有一个未着色邻居的黑色点必须将其邻居着色为黑色。
• 确保所得着色稳定且有效，无未着色点或无效配置。
• 利用稳定着色推导出DIM，当初始支配集大小固定时，该算法时间复杂度为线性。
• 基于枚举图中所有最大独立集（MIS）开发第二种算法。
• 对每个MIS，诱导部分着色（MIS中的点为白色，其余为黑色），并通过配对单个黑色点与其未着色邻居，检查其是否可扩展为完整有效着色。
• 对每个有效扩展，为每个单个黑色点选择最小权边进行配对，以最小化总权重。
• 返回所有MIS扩展中的最小权DIM，时间复杂度为O(nm²μ)，其中μ为最大独立集的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当图具有小点支配集时，最小权支配诱导匹配问题是否可高效求解？
• RQ2 在何种条件下，图中最大独立集的数量可被限制，使得DIM问题可多项式时间求解？
• RQ3 最大独立集与图中支配诱导匹配的存在性之间存在何种关系？
• RQ4 如何利用黑白点着色的结构，通过枚举系统性地探索所有潜在DIM？
• RQ5 所提算法的最坏情况时间复杂度是多少？其随图类（如二分图）或结构参数的变化规律如何？

主要发现

• 当给定固定大小的点支配集时，第一种算法的时间复杂度为线性，适用于支配集较小的图。
• 当最大独立集数量μ多项式有界时，第二种算法的时间复杂度为多项式，为该类图提供了可有效求解的方案。
• 对于一般图，该算法的最坏情况时间复杂度为O*(1.44225^n)，由μ ≤ 3^(n/3)的上界推导得出。
• 对于二分图，复杂度降低为O*(1.41421^n)，因为μ ≤ 2^(n/2)的上界更紧。
• 该算法通过枚举所有最大独立集并扩展有效部分着色，正确识别出所有最小权DIM。
• 每个DIM唯一对应一个包含白色点的最大独立集，且任意孤立边必属于任一DIM，因此可使用相同复杂度统计不同DIM的数量。