[论文解读] Exact algorithms for weighted and unweighted borda manipulation problems

Yongjie Yang, Jiong Guo|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了加权和非加权Borda操控问题的首个精确组合算法，分别实现了O*((m²m)^t+1)和O*(t²m)的时间复杂度，关键成果是解决了t=2操控者情况下的开放问题。此外，通过整数线性规划方法，提出了O*(29m²log m)时间复杂度的算法，并为具有两个操控者的单峰选举提供了多项式时间解法。

ABSTRACT

Both weighted and unweighted Borda manipulation problems have been proved NP-hard. However, there is no exact combinatorial algorithm known for these problems. In this paper, we initiate the study of exact combinatorial algorithms for both weighted and unweighted Borda manipulation problems. More precisely, we propose O*((m2m)t+1)-time and O*(t2m)-time combinatorial algorithms for weighted and unweighted Borda manipulation problems, respectively, where t is the number of manipulators and m is the number of candidates. Thus, for t=2 we solve one of the open problems posted by Betzler et al. [IJCAI 2011]. As a byproduct of our results, we show that the unweighted Borda manipulation problem admits an algorithm of running time O*(29m2log{m}), based on an integer linear programming technique. Finally, we study the unweighted Borda manipulation problem under single-peaked elections and present polynomial-time algorithms for the problem in the case of two manipulators, in contrast to the NP-hardness of this case in general settings.

研究动机与目标

• 为NP难的加权和非加权Borda操控问题开发精确组合算法。
• 解决Betzler等人（IJCAI 2011）提出的关于两个操控者情况的开放问题。
• 探索使用整数线性规划技术对非加权情况的算法改进。
• 研究结构限制（如单峰性）及其对算法可解性的影响。

提出的方法

• 为加权Borda操控问题设计时间复杂度为O*((m²m)^t+1)的组合算法。
• 为非加权Borda操控问题提出时间复杂度为O*(t²m)的组合算法。
• 应用整数线性规划技术，推导出非加权Borda操控问题的O*(29m²log m)时间复杂度算法。
• 分析单峰选举的结构，识别出可实现多项式时间可解性的条件。
• 使用动态规划和候选人排序技术，减少操控者策略的搜索空间。
• 利用单峰性质，为两个操控者设计高效算法，利用受限的偏好结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为加权和非加权Borda操控问题开发精确组合算法？
• RQ2 在一般设置下，两个操控者的非加权Borda操控问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 整数线性规划技术能否为非加权Borda操控问题带来更优的算法？
• RQ4 单峰偏好结构是否能为两个操控者的Borda操控问题提供多项式时间算法？
• RQ5 在不同参数化下，Borda操控问题的精确算法的确切时间复杂度是什么？

主要发现

• 为加权Borda操控问题提出了O*((m²m)^t+1)时间复杂度的精确组合算法。
• 为非加权Borda操控问题开发了O*(t²m)时间复杂度的精确组合算法。
• 通过整数线性规划技术，非加权Borda操控问题可实现O*(29m²log m)时间复杂度的算法。
• 对于具有两个操控者的单峰选举，构建了多项式时间算法，与一般设置下的NP难性形成对比。
• 两个操控者的情况在单峰偏好下被证明可在多项式时间内求解，提供了可解的特例。