[论文解读] Exact Amplitude Distributions of Sums of Stochastic Sinusoidals and their Application in Bit Error Rate Analysis

Y. Maghsoodi, Arafat Al‐Dweik|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Power Line Communications and Noise参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文利用递归变换法，推导出具有任意幅度与相位联合分布的 n 个随机正弦波包络幅度的概率密度函数（PDF）的精确解析表达式。主要贡献在于提出了一种通用的、非近似的公式，可在仅有少量可分辨多径分量的窄带衰落信道中实现精确的误比特率（BER）评估，其精度显著优于高斯近似方法，尤其在 n 较小时表现更优。

ABSTRACT

We consider a model applicable in many communication systems where the sum of n stochastic sinusoidal signals of the same frequency, but with random amplitudes as well as phase angles is present. The exact probability distribution of the resulting signal's amplitude is of particular interest in many important applications, however the general problem has remained open. We derive new general formulae for the resultant amplitude's distribution, in terms of any given general joint density of the random variables involved. New exact probability densities of cases of interest follow from the general formulae which are applied to the problem of the exact evaluation of the bit error rate performance in narrowband multipath fading channels that consist of a small number of jointly dependent resolvable multipath components. The numerical results are compared with those of the currently popular method of Gaussian approximation. These are consistent with simulations, and show significant increase in accuracy particularly for small number of components.

研究动机与目标

• 推导出具有任意幅度与相位联合分布的 n 个随机正弦波包络幅度的精确、非近似概率密度函数。
• 解决长期以来在幅度与相位任意分布且相互依赖的一般情况下，难以获得幅度分布闭式解的难题。
• 将推导出的精确分布应用于具有少量可分辨分量的窄带多径衰落信道的误比特率（BER）分析。
• 提供一个通用框架，推广并扩展先前工作，消除了独立性、同分布或均匀相位分布等限制性假设。
• 在 BER 评估中，相较于传统高斯近似方法，展现出更优的精度，尤其在 n 较小时表现更佳。

提出的方法

• 推导出两个通用的精确公式（定理 1 和定理 2），分别用于结果幅度的累积分布函数和概率密度函数，基于相位与幅度变量的递归变换。
• 采用递归方法，逐步构建 n 个正弦波的和，将第 n 个和的幅度分布表示为第 (n-1) 个和与第 n 个正弦波的函数。
• 引入一个关键变换，涉及一个依赖于当前与先前幅度和相位的参数 ψₙ 的反余弦函数，用于表达幅度模值的边界条件。
• 使用第 n 个相位在给定先前幅度与相位条件下的条件概率密度函数，并通过函数 V(ψₙ) 考虑变换中的雅可比行列式，以处理积分中的变量变换。
• 应用狄拉克 δ 函数形式化方法处理相位条件的离散解，最终得到一个包含每种幅度配置下两个可能相位值之和的 PDF 表达式。
• 最终的 PDF 表达式以幅度与相位的联合概率密度函数表示，通过指示函数确保仅在 |ψₙ| ≤ 1 时有效，并利用期望算子以紧凑形式表达结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当幅度与相位具有任意联合概率分布时，n 个随机正弦波包络幅度的精确概率密度函数是什么？
• RQ2 如何在不假设幅度与相位独立或同分布的前提下，递归推导幅度分布？
• RQ3 在具有少量多径分量的窄带衰落信道中，使用精确幅度分布与高斯近似相比，对误比特率（BER）性能评估有何影响？
• RQ4 与近似方法相比，使用精确分布进行 BER 估计的精度如何提升，特别是在多径分量数量较少时？
• RQ5 所推导出的一般公式是否可应用于具有联合依赖多径分量及非均匀幅度或相位分布的实际通信系统？

主要发现

• 本文推导出一个通用的、精确的公式，用于 n 个随机正弦波包络幅度的 PDF，适用于所有 n，且无需依赖独立性或同分布的假设。
• 所推导的公式以幅度与相位的双重积分形式表达，每种配置包含两个离散相位解的求和，权重由确保变量变换正确的雅可比项 V(ψₙ) 决定。
• 数值结果表明，精确方法与仿真结果高度吻合，而高斯近似则表现出显著误差，尤其在 n 较小（如 n=2,3）时更为明显。
• 精确方法在 BER 评估中相比高斯近似展现出显著改进，尤其在低信噪比区域及可分辨多径分量较少时。
• 该方法具有通用性，可推广至随机 n 的情况（在独立条件下），即使在非独立条件下也适用，尽管推导过程略为复杂。
• 该框架可实现对窄带衰落信道、跳频扩频系统（FH-SSS）以及多址干扰受限系统等场景的精确性能评估，而以往的近似方法已知存在不准确性。