[论文解读] Exact bounds for dynamical critical exponents of transverse-field Ising chains with a correlated disorder

Tatsuhiko Shirai, Shu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Quantum many-body systems参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文在具有相关无序的一维横向场伊辛链中，解析推导了动力学临界指数 $ z $ 的精确边界，其中横向场 $ \Gamma_i $ 依赖于相邻自旋耦合强度 $ J_{i-1} $ 和 $ J_i $。与无相关无序（此时 $ z = \infty $）不同，相关无序导致 $ z $ 为有限值：在弱无序区域 $ z = 1 $，在强无序情况下 $ z $ 满足 $ \max\left(D\left(\frac{1}{2} + |s - \frac{1}{2}|\right) + \frac{1}{2}, 1\right) \leq z \leq D + 1 $，其值取决于调节参数 $ s $。数值结果证实 $ z $ 依赖于调节过程，从而将其与无相关情况区分开来。

ABSTRACT

This study investigates the dynamical critical exponent of disordered Ising chains under transverse fields to examine the effect of a correlated disorder on quantum phase transitions. The correlated disorder, where the on-site transverse field depends on the nearest-neighbor coupling strengths connecting the site, gives a qualitatively different result from the uncorrelated disorder. In the uncorrelated disorder cases where the transverse field is either homogeneous over sites or random independently of the nearest-neighbor coupling strengths, the dynamical critical exponent is infinite. In contrast, in the presence of the correlated disorder, we analytically show that the dynamical critical exponent is finite. We also show that the dynamical critical exponent depends on the tuning process of the transverse field strengths.

研究动机与目标

• 研究相关无序（其中横向场依赖于最近邻耦合）对一维伊辛链中量子相变的影响。
• 确定在相关诱导无序下，动力学临界指数 $ z $ 是否保持无限（如无相关无序情况），还是变为有限值。
• 在弱无序与强无序区域中，解析推导 $ z $ 的精确边界，并研究其对横向场调节过程的依赖性。
• 与无相关无序模型对比（此时 $ z = \infty $），阐明相关性在改变临界行为中的作用。

提出的方法

• 本研究使用约旦-维格纳变换将自旋哈密顿量映射为二次费米子哈密顿量，从而通过布里斯科夫变换实现精确对角化。
• 以能隙 $ \Delta = \Lambda_1 $（最小准能量）作为特征能量尺度，通过 $ \Delta \sim \xi^{-z} $ 确定 $ z $，其中 $ \xi $ 为关联长度。
• 在弱无序情况下，耦合强度 $ J_i $ 在区间 $ (J^{(0)}, 1] $ 上均匀分布，且 $ J^{(0)} > 0 $，横向场通过 $ \Gamma_i = s \cdot \text{mean}(J_{i-1}, J_i) $ 调节，$ s \in [0,1] $。
• 在强无序情况下，$ J_i $ 服从幂律分布 $ \rho(J) \propto J^{-D} $，且 $ \Gamma_i $ 同样通过参数 $ s $ 调节，其中 $ D $ 控制无序强度。
• 通过变换后哈密顿量矩阵 $ M = (A - B)(A + B) $ 的特征值分析，推导出 $ z $ 的解析边界，且 $ \Lambda_1 $ 由最小特征值计算得出。
• 利用精确对角化进行数值模拟，验证了强无序区域中的解析边界，通过拟合关联函数提取 $ \xi $ 与 $ \bar{\xi} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \Gamma_i $ 依赖于 $ J_{i-1} $ 与 $ J_i $ 的相关无序是否会导致动力学临界指数 $ z $ 为有限值，而不同于无相关情况下 $ z = \infty $ 的情形？
• RQ2 在 $ J_i $ 的幂律分布中，参数 $ D $ 表征无序强度，$ z $ 的值如何依赖于无序强度？
• RQ3 横向场的调节过程（通过参数 $ s $）是否影响 $ z $ 的值？若影响，其影响机制如何？
• RQ4 在相关无序情况下，平均关联长度 $ \xi $ 与典型关联长度 $ \bar{\xi} $ 是否等价？与无相关情况下 $ \nu \neq \bar{\nu} $ 的情形相比如何？
• RQ5 能否在该相关无序模型下，对弱无序与强无序区域分别推导出 $ z $ 的精确解析边界？

主要发现

• 在弱无序区域，当 $ J_i \in (J^{(0)}, 1] $ 且 $ J^{(0)} > 0 $ 时，动力学临界指数恰好为 $ z = 1 $，且与调节参数 $ s $ 无关。
• 在强无序区域，当 $ J_i \sim J^{-D} $ 时，动力学临界指数满足边界 $ \max\left(D\left(\frac{1}{2} + |s - \frac{1}{2}|\right) + \frac{1}{2}, 1\right) \leq z \leq D + 1 $，明确表现出对 $ s $ 与 $ D $ 的依赖性。
• 数值分析证实 $ z $ 依赖于调节过程：不同 $ s $ 值导致不同的 $ z $，表明临界行为具有非普遍性。
• 在强无序情况下，平均关联长度 $ \xi $ 与典型关联长度 $ \bar{\xi} $ 一致，且 $ \nu = \bar{\nu} = 1 $，与无相关情况下 $ \nu = 2 $、$ \bar{\nu} = 1 $ 的情形形成对比。
• 结果表明，相关无序定性地改变了临界行为，导致 $ z $ 为有限值，而无相关无序则由于 Griffiths–McCoy 奇异性导致 $ z = \infty $。
• 本研究首次在该相关无序模型中实现了 $ z $ 的精确解析边界推导，与以往的数值研究形成鲜明对比。