[论文解读] Exact bounds on the amplitude and phase of the interval discrete Fourier transform in polynomial time

Marco de Angelis|arXiv (Cornell University)|May 27, 2022

Numerical Methods and Algorithms被引用 4

一句话总结

本文建立了计算区间离散傅里叶变换（DFT）幅度和相位精确边界之多项式时间算法的数学基础。通过将输入不确定性建模为区间，并利用复区间对角线的闵可夫斯基和，该方法完全解决了区间算术中的依赖性问题，确保每个谐波的联合集合均为严格凸集，从而在复值DFT计算中实现精确且经过验证的幅度和相位边界。

ABSTRACT

We elucidate why an interval algorithm that computes the exact bounds on the amplitude and phase of the discrete Fourier transform can run in polynomial time. We address this question from a formal perspective to provide the mathematical foundations underpinning such an algorithm. We show that the procedure set out by the algorithm fully addresses the dependency problem of interval arithmetic, making it usable in a variety of applications involving the discrete Fourier transform. For example when analysing signals with poor precision, signals with missing data, and for automatic error propagation and verified computations.

研究动机与目标

• 为一种计算离散傅里叶变换（DFT）幅度和相位边界的区间算法提供正式的数学基础。
• 解决在输入不确定性下计算DFT时区间算术中的依赖性问题。
• 证明区间DFT的联合集合是凸集，并可通过嵌套的闵可夫斯基加法计算得出。
• 在涉及不精确、缺失或不确定数据的信号处理应用中，实现严格且经过验证的计算。
• 支持DFT-based信号分析中的自动误差传播与经过验证的数值计算。

提出的方法

• 将输入信号建模为ℝ^N中的区间向量，通过有界区间表示不确定性。
• 将DFT表示为涉及区间输入与固定复傅里叶系数的复内积。
• 将DFT求和中的每一项表示为复平面上的复区间对角线（具有两个顶点的凸多面体）。
• 通过这些区间对角线的嵌套闵可夫斯基加法构造DFT输出的联合集合。
• 利用闵可夫斯基加法的性质，确保ℂ中结果联合集合的凸性与精确性。
• 应用命题4.13，以线性时间计算联合集合的顶点，避免昂贵的凸包计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在输入不确定性下计算DFT时，区间算术中的依赖性问题是否可以被完全解决？
• RQ2 是否可能在多项式时间内计算DFT幅度和相位的精确边界？
• RQ3 区间DFT的联合集合表现出何种几何结构，以及如何对其进行表征？
• RQ4 如何利用复区间对角线的闵可夫斯基和来表示DFT输出的完整范围？
• RQ5 DFT相位在联合集合上定义良好的条件是什么？

主要发现

• 区间DFT的联合集合是复平面上的一个凸多面体，确保幅度和相位的精确且严格的边界。
• 联合集合可通过复区间对角线的嵌套闵可夫斯基加法序列计算得出，完整保留了依赖性信息。
• 联合集合的顶点数最多为2N，且可使用闵可夫斯基加法算法在线性时间内计算得出。
• 该方法完全解决了区间算术中的依赖性问题，实现了经过验证且严格的DFT计算。
• 当联合集合包含原点时，相位未定义，可通过凸集的几何结构检测到此情况。
• 该方法支持自动误差传播，并适用于精度较差或数据缺失的信号。