[论文解读] Exact Calabi-Yau categories and q-intersection numbers

Li Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 2

一句话总结

该论文证明，任何在其缠绕弗勒比范畴上具有精确卡勒-丘结构的威斯坦曼，仅包含有限多个不相交的拉格朗日子流形。通过循环开-闭映射，一个在等变辛上同调中的诱导类定义了 q-交数，推广了塞德尔-索洛蒙的构造；该框架即使在缺乏拟膨胀的情况下也能证明有限性，如三重点三叉型的米尔诺纤维所示。

ABSTRACT

An exact Calabi-Yau structure, originally introduced by Keller, is a special kind of smooth Calabi-Yau structures in the sense of Kontsevich-Vlassopoulos. For a Weinstein manifold $M$, the existence of an exact Calabi-Yau structure on its wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(M)$ imposes strong restrictions on its symplectic topology. Under the cyclic open-closed map constructed by Ganatra, an exact Calabi-Yau structure on $\mathcal{W}(M)$ induces a class $ ilde{b}$ in the degree one equivariant symplectic cohomology $\mathit{SH}_{S^1}^1(M)$. Using $ ilde{b}$ one can define a version of refined intersection numbers between $ ilde{b}$-equivariant objects of the compact Fukaya category $\mathcal{F}(M)$, which reduces to the $q$-intersection numbers introduced by Seidel-Solomon if $ ilde{b}$ is induced by a quasi-dilation in the degree one symplectic cohomology via the erasing map $\mathit{SH}^1(M) ightarrow\mathit{SH}_{S^1}^1(M)$. This enables us to show that any Weinstein manifold with exact Calabi-Yau $\mathcal{W}(M)$ contains only finitely many disjoint Lagrangian spheres. We prove that the wrapped Fukaya category of the Milnor fiber of a 3-fold triple point is exact Calabi-Yau despite the fact that it does not admit a quasi-dilation.

研究动机与目标

• 理解精确卡勒-丘结构对威斯坦曼缠绕弗勒比范畴施加的拓扑约束。
• 利用来自循环开-闭映射的等变辛上同调类，推广塞德尔-索洛蒙的 q-交数。
• 在缺乏拟膨胀的情况下，证明此类范畴中不相交拉格朗日子流形的有限性。
• 证明三重点三叉型的米尔诺纤维虽无拟膨胀，却仍支持精确卡勒-丘结构。

提出的方法

• 利用加纳特拉的循环开-闭映射，将缠绕弗勒比范畴上的精确卡勒-丘结构上提至 $\mathit{SH}_{S^1}^1(M)$ 中的类 $\tilde{b}$。
• 在紧致弗勒比范畴的对象之间定义 $\tilde{b}$-等变交数，推广 q-交数。
• 利用 $\tilde{b}$-等变性构建精细交数理论，当 $\tilde{b}$ 通过擦除映射来自拟膨胀时，退化为塞德尔-索洛蒙的 q-交数。
• 将所得交数理论应用于证明范畴中不相交拉格朗日子流形的有限性。
• 分析三重点三叉型的米尔诺纤维，证明其支持精确卡勒-丘结构而无须拟膨胀。
• 利用缺乏拟膨胀作为测试案例，验证新框架的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当威斯坦曼的缠绕弗勒比范畴具有精确卡勒-丘结构时，会引发何种拓扑约束？
• RQ2 如何利用等变辛上同调，将 q-交数推广至无拟膨胀的情形？
• RQ3 在缺乏拟膨胀的情况下，能否证明不相交拉格朗日子流形的有限性？
• RQ4 三重点三叉型的米尔诺纤维是否在无拟膨胀的情况下仍支持精确卡勒-丘结构？
• RQ5 循环开-闭映射在辛拓扑中能在多大程度上催生新不变量？

主要发现

• 缠绕弗勒比范畴 $\mathcal{W}(M)$ 上精确卡勒-丘结构的存在性意味着 $M$ 仅包含有限多个不相交的拉格朗日子流形。
• 由循环开-闭映射诱导的类 $\tilde{b} \in \mathit{SH}_{S^1}^1(M)$ 支持一种精细的 $\tilde{b}$-等变交数理论。
• 当 $\tilde{b}$ 通过擦除映射来自拟膨胀时，该交数理论退化为塞德尔-索洛蒙的 q-交数。
• 三重点三叉型的米尔诺纤维在其缠绕弗勒比范畴中支持精确卡勒-丘结构，尽管其不支持拟膨胀。
• 该框架成功在缺乏拟膨胀的情况下证明了不相交拉格朗日子流形的有限性，扩展了先前结果。