[论文解读] Exact density matrix of a discrete quantum system immersed in a thermal reservoir

A. J. van Wonderen, L.G. Suttorp|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文提出了一种离散量子系统与谐振子热库耦合时密度矩阵的精确解析解，采用矩阵连分数表示Kraus映射。通过利用拉普拉斯变换的矩阵比，并假设无限层级中高阶项可忽略，作者在不依赖主方程的前提下，推导出非马尔可夫演化过程的闭式表达式。

ABSTRACT

Quantum dissipation is studied for a discrete system that linearly interacts with a reservoir of harmonic oscillators at thermal equilibrium. Initial correlations between system and reservoir are assumed to be absent. The dissipative dynamics as determined by the unitary evolution of system and reservoir is described by a Kraus map consisting of an infinite number of matrices. For all Laplace-transformed Kraus matrices exact solutions are constructed in terms of continued fractions that depend on the pair correlation functions of the reservoir.

研究动机与目标

• 为与热库耦合的离散系统提供非马尔可夫量子动力学的精确描述，避免主方程方法中常见的近似。
• 解决推导精确主方程的挑战，此前研究认为该问题极为复杂或不可行。
• 基于库仑相关函数，利用矩阵连分数构建Kraus映射的闭式解。
• 在弱耦合且系统-库无初始关联的条件下建立框架，确保微扰区域内的迹保持与正定性。

提出的方法

• 基于系统与库的幺正演化，通过由无限组矩阵组成的Kraus映射推导系统密度矩阵的时间演化。
• 引入由Kraus矩阵导出的矩阵比，并应用拉普拉斯变换，形成非线性方程的闭合层级。
• 将层级迭代至有限阶N，第二步涉及复杂的矩阵连分数表达式。
• 取极限N → ∞，假设最高阶矩阵比为零，从而以矩阵连分数形式获得闭式解。
• 利用维克定理将库相关函数表示为成对相关函数，实现对热库的解析处理。
• 采用拉普拉斯表示与围道积分，将Kraus算符表示为频率依赖的耦合函数与库相关函数的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖主方程的前提下，推导出开放量子系统精确的非马尔可夫演化？
• RQ2 与谐振子热库耦合的系统，其Kraus映射的解析结构为何？
• RQ3 如何以闭式解求解矩阵比的无限层级，以描述系统密度矩阵的演化？
• RQ4 矩阵连分数表示在何种条件下收敛并提供物理上有效的描述？
• RQ5 Kraus映射结构是否过于复杂，以至于无法实际推导出精确主方程？

主要发现

• 系统密度矩阵的精确时间演化以Kraus映射形式表达，其矩阵由基于库相关函数的矩阵连分数给出。
• 通过取有限迭代层级的极限N → ∞，并假设最高阶矩阵比为零，获得解。
• 该方法避免使用主方程，为离散系统在热库中的非微扰、精确非马尔可夫动力学提供了描述。
• Kraus矩阵由拉普拉斯变换的矩阵比构成，这些比值通过涉及库成对相关函数的连分数显式求解。
• 该框架依赖于高斯库的维克定理，使对由谐振子组成的热平衡库实现精确处理成为可能。
• 该方法证实，由于Kraus映射的复杂解析结构，精确主方程可能难以求解，与先前的猜想一致。