[论文解读] Exact DG-categories and fully faithful triangulated inclusion functors

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文在DG范畴上引入了一种“准对合”构造，从DG环恢复了分次模的阿贝尔范畴，从而为精确DG范畴和第二类导出范畴提供了统一的框架。核心贡献是建立了一套关于第二类导出范畴之间全忠实三角函子的一般理论，该理论通过阿贝尔DG范畴上的同调代数方法证明，并应用于复形、矩阵因子化以及CDG模。

ABSTRACT

We construct an "almost involution" assigning a new DG-category to a given one, and use this construction to recover, say, the abelian category of graded modules over the graded ring $R^*$ from the DG-category of DG-modules over a DG-ring $(R^*,d)$. This provides an appropriate technical background for the definition and discussion of abelian and exact DG-categories. In the setting of exact DG-categories, derived categories of the second kind are defined in the maximal natural generality. We develop the related abstract category-theoretic language and use it to formulate and prove several full-and-faithfulness theorems for triangulated functors induced by the inclusions of fully exact DG-subcategories. Such functors are fully faithful for derived categories of the second kind more often than for the conventional derived categories. Examples and applications range from the categories of complexes in abelian/exact categories to matrix factorization categories, and from curved DG-modules over curved DG-rings to quasi-coherent CDG-modules over quasi-coherent CDG-quasi-algebras over schemes.

研究动机与目标

• 通过一种‘准对合’构造，发展一种范畴论框架，用于精确DG范畴。
• 通过新的DG范畴构造，从DG环恢复其分次模的阿贝尔范畴。
• 建立第二类导出范畴（包括余导出和反导出范畴）的一般设定。
• 证明由全精确DG子范畴包含所诱导的三角函子在第二类导出范畴上的全忠实性定理。
• 统一并推广现有关于复形、矩阵因子化以及拟相干CDG模的导出范畴结果。

提出的方法

• 本文从给定的DG范畴 $\mathbf{A}$ 构造一个新的DG范畴 $\mathbf{A}^\natural$，利用一种类似对偶性的‘准对合’，以恢复分次结构。
• 通过 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A})$ 与 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$（即度数为0的闭态射范畴）之间的相互作用，定义阿贝尔与精确DG范畴。
• 该构造使用从分次模自由生成DG模，并配备标准的收缩同伦。
• 引入一组在 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A})$ 与 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ 之间的三重伴随函子，解释‘遗忘微分’与‘自由生成DG模’的含义。
• 该理论被应用于DG模、带曲率的DG模以及概形上的CDG模，重点在于第二类导出范畴。
• 关键结果通过同调维数假设与 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ 上的fp-投影维数条件证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过DG范畴的构造，从DG环恢复其分次模的阿贝尔范畴？
• RQ2 精确DG范畴的正确抽象定义是什么？该定义应能推广已知例子，如复形与因子化范畴。
• RQ3 在何种条件下，全精确DG子范畴包含在第二类导出范畴上诱导出全忠实的三角函子？
• RQ4 Positselski与Becker所定义的余导出与反导出范畴在输出上如何比较？
• RQ5 在余导出范畴的全忠实性定理中，是否可以放松对 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ 的有限fp-投影维数假设？

主要发现

• 构造 $\mathbf{A}^\natural$ 将 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ 恢复为 $R^*$-分次模的阿贝尔范畴，其中 $\mathbf{A} = \boldsymbol{R}^\bullet\mathbf{--mod}$。
• 对于阿贝尔DG范畴 $\mathbf{A}$，函子 $\natural\natural: \mathbf{A} \to \mathbf{A}^{\natural\natural}$ 是一个DG等价，表明在此情况下该构造具有自对偶性。
• 包含关系 $\boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod}_{\mathbf{fp}} \to \boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod}$ 诱导出从 $\mathsf{D}^{\mathsf{abs}}(\boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod}_{\mathbf{fp}})$ 到 $\mathsf{D}^{\mathsf{co}}(\boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod})$ 的全忠实三角函子。
• 在 $\aleph_n$-诺特性条件下，$\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ 的fp-投影维数有界于 $n$，满足主要定理的假设。
• 当使用Becker的余导出范畴时，[50] 的结果允许在 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A})$ 上去掉有限fp-投影维数假设，从而改进了主要定理。
• 当 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ 具有有限fp-投影维数时，Positselski与Becker的余导出范畴一致，提示在更广泛设定下可能存在等价性。