[论文解读] Exact distribution of the sample variance from a gamma parent distribution

Thomas Royen|ArXiv.org|Apr 11, 2007

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文通过级数展开和正交函数表示，从伽马分布总体推导出样本方差的精确累积分布函数（cdf）。它提出了一个计算高效的双重级数方法（定理4.1），以及针对整数形状参数的近乎精确的伽马分布混合表示（定理4.2），实现了无需蒙特卡洛模拟的高精度数值计算。

ABSTRACT

Several representations of the exact cdf of the sum of squares of n independent gamma-distributed random variables Xi are given, in particular by a series of gamma distribution functions. Using a characterization of the gamma distribution by Laha, an expansion of the exact distribution of the sample variance is derived by a Taylor series approach with the former distribution as its leading term. In particular for integer orders alpha some further series are provided, including a convex combination of gamma distributions for alpha = 1 and nearly of this type for alpha > 1. Furthermore, some representations of the distribution of the angle Phi between (X1,...,Xn) and (1,...,1) are given by orthogonal series. All these series are based on the same sequence of easily computed moments of cos(Phi).

研究动机与目标

• 推导当总体分布为伽马分布时样本方差的精确分布。
• 为统计推断提供计算高效且数值精确的样本方差cdf表示方法。
• 通过为伽马分布数据提供精确的解析形式，将已知结果从正态和指数情形扩展至更广范围。
• 利用级数展开和正交函数分解实现cdf的精确评估，避免使用蒙特卡洛模拟。
• 为评估非正态方差分析中现有近似方法的准确性，提供理论与实践工具。

提出的方法

• 通过 $ h^{*}_{\alpha,n}(r) = r^{-\alpha n} H_{\alpha,n}(r) $ 的拉普拉斯变换推导平方和 $ Z = \sum X_i^2 $ 的cdf，将其与 $ U = \sqrt{Z/Y^2} $ 的分布联系起来。
• 利用拉哈定理对伽马分布的刻画，将样本方差分布表示为随机向量与全1向量之间夹角 $ \Phi $ 的函数。
• 在 $ \vartheta/n $ 处进行泰勒级数展开，将cdf表示为涉及 $ \cos\Phi $ 矩的双重级数，从而导出定理4.1。
• 通过在 $ [0, \varphi_n] $ 上对 $ \tan\Phi $ 进行多项式逼近，实现对整数 $ \alpha $ 的近乎精确的伽马分布混合表示，如定理4.2所示。
• 基于 $ \cos\Phi $ 的可计算矩，采用勒让德多项式和傅里叶正弦级数展开，表示 $ \Phi $ 的分布。
• 通过计算机代数系统进行数值计算，生成至少八位有效数字的表格，验证了方法的高精度与高效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当总体分布为伽马分布时，样本方差的累积分布函数的精确解析形式是什么？
• RQ2 如何基于数据向量与全1向量之间夹角 $ \Phi $ 的级数展开表示样本方差的分布？
• RQ3 能否为样本方差cdf构造一个伽马分布的混合概率模型，特别是针对整数形状参数 $ \alpha $？
• RQ4 与蒙特卡洛模拟相比，所提出的级数表示在精度和计算效率方面如何？
• RQ5 为什么 $ \cos\Phi $ 和 $ \cot\Phi $ 的矩有助于构建cdf的正交级数和幂级数表示？

主要发现

• 通过双重级数表示（定理4.1）推导出样本方差的精确cdf，该方法在数值上稳定，精度至少达到八位有效数字。
• 在指数情形（$ \alpha = 1 $）下，样本方差的cdf被精确表示为伽马分布的凸组合。
• 对于整数 $ \alpha > 1 $，cdf近似表示为伽马分布的混合形式，定理4.2中给出了交替幂级数形式。
• 该方法可借助计算机代数系统实现高精度的cdf计算，且由于级数项以 $ O(\vartheta^j j^{-(n+1)/2}) $ 速度衰减，保证了收敛性。
• 对 $ \tan\Phi $ 的分布采用 $ [0, \varphi_n] $ 上的多项式逼近，从而为整数 $ \alpha $ 推导出近乎精确的混合表示。
• 级数表示基于 $ \cos\Phi $ 的可计算矩，且推导出 $ \Phi $ 分布的勒让德多项式正交展开与傅里叶正弦级数展开。