[论文解读] Exact duals and short certificates of infeasibility and weak infeasibility in conic linear programming

Minghui Liu, Gábor Pataki|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文为锥线性规划（CLPs）引入了精确对偶和不可行性与弱不可行性的简短证明，推广了已知的半定规划（SDPs）结果，并克服了标准拉格朗日对偶的局限性，后者可能无法达到最优值或存在对偶间隙。作者基于面缩减和初等行变换提出了新的精确对偶与不可行性证明，构建了一个无需约束资格条件的统一框架，实现了对CLPs中不可行性和弱不可行性的算法验证。

ABSTRACT

In conic linear programming -- in contrast to linear programming -- the Lagrange dual is not an exact dual: it may not attain its optimal value, or there may be a positive duality gap. The corresponding Farkas' lemma is also not exact (it does not always prove infeasibility). We describe exact duals, and certificates of infeasibility and weak infeasibility for conic LPs which are nearly as simple as the Lagrange dual, but do not rely on any constraint qualification. Some of our exact duals generalize the SDP duals of Ramana, and Klep and Schweighofer to the context of general conic LPs. Some of our infeasibility certificates generalize the row echelon form of a linear system of equations: they consist of a small, trivially infeasible subsystem obtained by elementary row operations. We prove analogous results for weakly infeasible systems. We obtain some fundamental geometric corollaries: an exact characterization of when the linear image of a closed convex cone is closed, and an exact characterization of nice cones. Our infeasibility certificates provide algorithms to generate {\em all} infeasible conic LPs over several important classes of cones; and {\em all} weakly infeasible SDPs in a natural class. Using these algorithms we generate a public domain library of infeasible and weakly infeasible SDPs. The status of our instances can be verified by inspection in exact arithmetic, but they turn out to be challenging for commercial and research codes.

研究动机与目标

• 解决锥线性规划中标准对偶失效的问题，其中拉格朗日对偶可能无法达到最优值或存在正对偶间隙。
• 构建始终能 attained 最优值且与原始问题最优值一致的精确对偶，即使在缺乏约束资格条件时亦成立。
• 为锥线性规划构造简短、可验证的不可行性与弱不可行性证明，类似于线性系统中的行阶梯形式。
• 提供一个统一框架，推广已知的SDP结果并将其扩展至一般锥线性规划。
• 实现算法化生成不可行与弱不可行的SDPs，以供求解器测试与基准测试。

提出的方法

• 通过面缩减为锥线性规划引入精确对偶，系统性地识别并移除冗余约束，以恢复强对偶性。
• 基于初等行变换开发不可行性证明，将系统转化为一个显然不可行的子系统，类似于行阶梯形式。
• 利用面缩减的概念刻画线性映射下闭凸锥的像是否闭，为精确对偶提供几何基础。
• 将拉马纳（Ramana）针对SDPs的扩展对偶推广至一般锥线性规划，确保在无需约束资格条件的情况下实现精确对偶。
• 将理论应用于构建算法程序，系统性地生成自然类中所有不可行与弱不可行的SDPs。
• 采用精确算术验证来确认生成实例的状态，确保其在基准测试中正确无误。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般锥线性规划构造出始终能 attained 最优值且与原始问题最优值一致的精确对偶？
• RQ2 能否为锥线性规划开发出不依赖约束资格条件的简短、可验证的不可行性证明？
• RQ3 如何利用面缩减刻画闭凸锥在一线性映射下的像是否闭？
• RQ4 弱不可行性与锥及其对偶中面的几何结构之间的确切关系是什么？
• RQ5 能否设计出算法方法，系统性地生成不可行与弱不可行的SDPs以供求解器测试？

主要发现

• 本文构造的锥线性规划精确对偶满足弱对偶性，其最优值与原始问题一致，且始终能 attained 最优值，即使标准拉格朗日对偶失败。
• 提供了简短的不可行性证明，可算法验证，并将线性系统的行阶梯形式推广至锥规划。
• 作者精确刻画了线性映射下闭凸锥的像是否闭的条件，解决了根本性的几何问题。
• 提供了‘良好’锥的完整刻画，即对所有线性映射，其像始终闭的锥。
• 该框架可生成公开的不可行与弱不可行SDPs库，尽管这些实例对商业与研究求解器具有挑战性，但可通过精确算术直接验证。
• 结果将已知的SDPs扩展对偶推广至一般锥线性规划，统一并简化了基于面缩减与扩展对偶的现有方法。