[论文解读] Exact Eigenfunctions of a Chaotic System

Ophir M. Auslaender, Shmuel Fishman|ArXiv.org|Jul 26, 1997

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文利用塞尔伯格迹公式，推导出伪球面上铺砖 billiards 量子系统的精确本征函数与格林函数——该系统具有经典混沌动力学。研究发现，格林函数可表示为周期轨道上无限级数之比，分母为谱行列式，并通过在 ℏ 上的解析延拓表明，所得本征函数与一般混沌系统的本征函数相似，未发现量子斑痕的证据。

ABSTRACT

The interest in the properties of quantum systems, whose classical dynamics are chaotic, derives from their abundance in nature. The spectrum of such systems can be related, in the semiclassical approximation (SCA), to the unstable classical periodic orbits, through Gutzwiller's trace formula. The class of systems studied in this work, tiling billiards on the pseudo-sphere, is special in this correspondence being exact, via Selberg's trace formula. In this work, an exact expression for Green's function (GF) and the eigenfunctions (EF) of tiling billiards on the pseudo-sphere, whose classical dynamics are chaotic, is derived. GF is shown to be equal to the quotient of two infinite sums over periodic orbits, where the denominator is the spectral determinant. Such a result is known to be true for typical chaotic systems, in the leading SCA. From the exact expression for GF, individual EF can be identified. In order to obtain a SCA by finite series for the infinite sums encountered, resummation by analytic continuation in $\hbar$ was performed. The result is similar to known results for EF of typical chaotic systems. The lowest EF of the Hamiltonian were calculated with the help of the resulting formulae, and compared with exact numerical results. A search for scars with the help of analytical and numerical methods failed to find evidence for their existence.

研究动机与目标

• 推导一个经典混沌动力学的量子混沌系统中本征函数与格林函数的精确表达式。
• 在对应关系精确而非近似的情况下，建立量子谱性质与周期轨道之间的联系。
• 通过分析与数值方法研究量子斑痕——局域化本征态——的存在性。
• 通过将分析结果与数值计算进行比较，验证在精确可解混沌系统中半经典的近似是否成立。

提出的方法

• 本研究采用塞尔伯格迹公式，将格林函数精确表示为周期轨道上两个无限级数之比。
• 格林函数的分母被识别为谱行列式，从而确保了量子与经典对应关系的精确性。
• 在普朗克常数 ℏ 上应用解析延拓，将无限级数重求和为有限且可计算的本征函数表达式。
• 利用所得公式数值计算最低能级本征函数，并与精确数值解进行比较。
• 结合分析方法与数值模拟，系统搜索本征函数中的量子斑痕。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用精确迹公式，为经典动力学混沌的量子系统推导出精确本征函数？
• RQ2 伪球面上铺砖 billiards 的本征函数在半经典极限下与一般混沌系统的本征函数相比如何？
• RQ3 在这一精确可解的混沌系统中，是否存在与不稳定周期轨道对齐的量子斑痕——局域化本征态？
• RQ4 通过与数值结果的比较，半经典近似在精确可解系统中的适用程度如何？

主要发现

• 格林函数被精确表示为周期轨道上两个无限级数之比，分母为谱行列式。
• 通过在 ℏ 上解析延拓得到的本征函数，与一般混沌系统半经典近似所预测的本征函数极为相似。
• 利用推导公式数值计算最低能级本征函数，与精确数值解高度一致。
• 尽管进行了广泛的分析与数值搜索，本征函数中未发现量子斑痕的证据。
• 结果证实了半经典近似即使在精确可解的混沌系统中依然成立，支持其更广泛的应用性。