[论文解读] Exact exponential bounds for the random field maximum distribution via the majoring measures (generic chaining)

E. Ostrovsky, E. Rogover|ArXiv.org|Feb 4, 2008

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 6被引用 23

一句话总结

本文通过使用主要测度和通用链方法，为均值为零、可分的随机场的最大值的尾部分布建立了非渐近、指数精确的界。通过与凸函数 $\phi$ 相关的 Orlicz 范数，推导出尖锐的尾部估计，表明尾部概率以 $\exp(-\phi^*(Cu))$ 的形式衰减，且通过局部鞅构造和矩估计确认了其最优性。

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exact exponential estimates are derived for the tail of maximum distribution of random field in the terms of majoring measures or, equally, generic chaining.

研究动机与目标

• 推导当 $ u \to \infty $ 时，尾部概率 $ Q(T,u) = \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) $ 的非渐近、指数精确的上下界。
• 在凸函数 $ \phi $ 的对偶函数 $ \phi^* $ 意义下，证明界 $ \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) \asymp \exp(-\phi^*(Cu)) $ 的最优性。
• 将通用链方法与随机变量的 $ B(\phi) $ 和 $ G(\psi) $ Banach 空间联系起来，证明范数等价性与尾部行为的一致性。
• 通过满足 $ \sigma^2(n)/n^d \in [C_1, C_2] $ 的多项式鞅构造，实现尾部中精确指数 $ u^r $ 的验证，从而证明通用链界的有效性。

提出的方法

• 将空间 $ B(\phi) $ 定义为所有满足 $ \mathbb{E}[\exp(\lambda \xi)] \leq \exp(\phi(\lambda \tau)) $ 的中心化随机变量 $ \xi $ 的集合（对某个 $ \tau $），并定义 $ \|\xi\|_{B(\phi)} $ 为满足该不等式的最小 $ \tau $。
• 利用 Young-Fenchel 变换 $ \phi^*(x) = \sup_\lambda (\lambda x - \phi(\lambda)) $ 来刻画尾部行为：$ \mathbb{P}(|\xi| > x) \leq \exp(-\phi^*(Cx)) $。
• 引入矩范数 $ \|\xi\|_{G(\psi)} = \sup_{p \geq 2} \mathbb{E}^{1/p}|\xi|^p / \psi(p) $，其中 $ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $，并证明 $ B(\phi) = G(\psi) $ 且范数等价。
• 应用 Doob 不等式和 $ B(\phi) $ 空间中的矩估计，对链式块进行界控：$ \mathbb{P}(\max_{n \in E(k)} \xi(n) > u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k))) \leq \exp(-\phi^*(C u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k)))) $。
• 构造一个多项式鞅 $ \xi(n) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_d \leq n} \epsilon(i_1) \cdots \epsilon(i_d) $，满足 $ \sigma^2(n) \asymp n^d $，且 $ v_r(n) \asymp (n \log \log n)^{d/2} $。
• 利用 LIL 和路径估计，证明 $ \varlimsup_{n \to \infty} \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > 0 $ 几乎必然成立，并且 $ \mathbb{P}(\sup_n \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > u) \geq \exp(-C_3 u^r) $，从而验证了界的尖锐性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过主要测度方法，为随机场最大值的尾部分布推导出非渐近、指数精确的界？
• RQ2 对于满足 $ \xi(t) \in B(\phi) $ 的一般随机场，界 $ \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) \asymp \exp(-\phi^*(Cu)) $ 是否为尖锐的？
• RQ3 $ B(\phi) $ 范数与矩范数 $ G(\psi) $ 之间存在何种关系？该等价性如何支持尾部估计？
• RQ4 能否构造多项式鞅以在尾部中实现精确指数 $ u^r $，从而确认通用链界的有效性？
• RQ5 主要积分在何种条件下收敛或发散？这如何影响最大值的尾部行为？

主要发现

• 在对所有 $ t \in T $ 一致有 $ \xi(t) \in B(\phi) $ 的条件下，尾部概率 $ \mathbb{P}(\sup_{t \in T} \xi(t) > u) $ 的上界为 $ \exp(-\phi^*(Cu)) $，其中 $ C > 0 $。
• 该界为渐近精确：若 $ \lim_{x \to \infty} (\phi^*)^{-1}(|\log U(\xi,x)|)/x = 1/K $，则 $ \mathbb{P}(|\xi| > x) \asymp \exp(-\phi^*(Cx)) $。
• 对于多项式鞅 $ \xi(n) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_d \leq n} \epsilon(i_1) \cdots \epsilon(i_d) $，其尾部满足 $ \mathbb{P}(\sup_n \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > u) \geq \exp(-C_3 u^r) $，其中 $ u > 2 $，且 $ r = d $。
• 通用链界 $ \mathbb{P}(\max_{n \in E(k)} \xi(n) > u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k))) \leq \exp(-\phi^*(C u \sigma(A(k)) v_r(A(k)) / \sigma(B(k)))) $ 通过 Doob 不等式和 $ B(\phi) $-范数估计推导得出。
• $ B(\phi) $ 与 $ G(\psi) $ 空间一致且范数等价，其中 $ \psi(p) = p / \phi^{-1}(p) $，且 $ \|\xi\|_{G(\psi)} \asymp \|\xi\|_{B(\phi)} $。
• 当 $ \sigma^2(n)/n^d \in [C_1, C_2] $ 且 $ v_r(n) \asymp (n \log \log n)^{d/2} $ 时，有 $ \varlimsup_{n \to \infty} \xi(n)/(\sigma(n) v_r(n)) > 0 $ 几乎必然成立，从而确认了边界的尖锐性。