[论文解读] Exact Exponential Time Algorithms for Max Internal Spanning Tree

Henning Fernau, Serge Gaspers+1 more|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algorithms and Data Compression参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出了针对 NP-难问题最大内部生成树（MIST）的精确算法与参数化算法，重点研究最大度为三的图。提出了一种新颖的分支算法，使用多项式空间，时间复杂度达到 $ϴ^*(1.8669^n)$；并设计了参数化版本，针对寻找至少包含 $k$ 个内部顶点的生成树，运行时间为 $ϴ^*(2.1364^k)$，采用 Measure & Conquer 分析方法。

ABSTRACT

We consider the NP-hard problem of finding a spanning tree with a maximum number of internal vertices. This problem is a generalization of the famous Hamiltonian Path problem. Our dynamic-programming algorithms for general and degree-bounded graphs have running times of the form O*(c^n) (c <= 3). The main result, however, is a branching algorithm for graphs with maximum degree three. It only needs polynomial space and has a running time of O*(1.8669^n) when analyzed with respect to the number of vertices. We also show that its running time is 2.1364^k n^O(1) when the goal is to find a spanning tree with at least k internal vertices. Both running time bounds are obtained via a Measure & Conquer analysis, the latter one being a novel use of this kind of analyses for parameterized algorithms.

研究动机与目标

• 开发最大内部生成树（MIST）问题的更快精确算法，该问题推广了哈密顿路径问题。
• 为最大度为三的图设计多项式空间的 MIST 算法，改进先前的指数时间界。
• 从参数化视角出发，使用 Measure & Conquer 方法分析算法，以内部顶点数 $k$ 为参数。
• 建立首个 $ϴ^*(c^n)$ 时间复杂度的 MIST 算法，其中 $c < 3$，并改进度有界的图的运行时间。
• 探索在一般图与子三度图中突破 $2^n$ 时间复杂度屏障的可行性。

提出的方法

• 对一般图与度有界图采用动态规划方法，实现 $ϴ^*(3^n)$ 的时间复杂度。
• 为最大度为三的图设计专用分支算法，利用图的结构约束以降低分支因子。
• 通过将顶点划分为集合 $U, X, Y, Z, W$ 的状态分类方法，跟踪分支过程中顶点的状态。
• 应用 Measure & Conquer 分析方法，推导出运行时间的紧致界，使用自定义势函数 $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ 来建模问题规模的减少。
• 参数化分析将 $k$ 视为解的大小（即内部顶点的最小数量），并使用改进的度量来捕捉分支树中的进展。
• 算法在维护可行生成树候选解的同时处理图中边的增加与删除，基于顶点度数与邻居类型进行情况划分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在使用多项式空间的前提下，突破一般图中 MIST 的 $ϴ^*(2^n)$ 时间复杂度屏障？
• RQ2 是否可能设计出针对子三度图中 MIST 的更快精确算法，特别是实现 $ϴ^*(c^n)$ 时间复杂度且 $c < 3$？
• RQ3 Measure & Conquer 方法能否有效应用于 MIST 的参数化算法分析，特别是在以解大小 $k$ 为参数时？
• RQ4 在度为三的图中，MIST 的最优分支策略是什么，能最小化最坏情况下的分支因子？
• RQ5 当以内部顶点数 $k$ 而非顶点数 $n$ 作为参数时，运行时间如何变化？

主要发现

• 本文首次提出 $ϴ^*(c^n)$ 时间复杂度的 MIST 算法，其中 $c < 3$，在一般图中达到 $ϴ^*(3^n)$。
• 对于最大度为三的图，该算法在仅使用多项式空间的前提下，运行时间为 $ϴ^*(1.8669^n)$。
• 参数化版本的算法运行时间为 $ϴ^*(2.1364^k)$，其中 $k$ 为生成树中内部顶点的数量。
• 通过在参数化算法分析中首次应用 Measure & Conquer 方法，获得了 $ϴ^*(2.1364^k)$ 的运行时间界。
• 算法中最坏情况下的分支因子出现在情况 4.(b)（$d_T(a)=2$）、4.(c)、4.(d) 以及情况 5（$b$ 的所有邻居度数均为 3）中，所有情况的分支数均为 $2.1364$。
• 分析结果表明，该算法性能紧致，除非采用新的分支策略或度量方法，否则无法实现显著改进。